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1990
黑龙江
高考
理科
数学
答案
1990年黑龙江高考理科数学真题及答案
一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)
1.(4分)方程=的解是( )
A.
x=
B.
x=
C.
x=
D.
x=9
2.(4分)把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是( )
A.
B.
i
C.
D.
3.(4分)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于( )
A.
B.
C.
D.
4.(4分)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.(4分)已知如图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|<)的图象,那么( )
A.
ϖ=,φ=
B.
ϖ=,φ=﹣
C.
ϖ=2,φ=
D.
ϖ=2,φ=﹣
6.(4分)函数的值域是( )
A.
{﹣2,4}
B.
{﹣2,0,4}
C.
{﹣2,0,2,4}
D.
{﹣4,﹣2,0,4}
7.(4分)如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称,那么( )
A.
a=,b=6
B.
a=,b=﹣6
C.
a=3,b=﹣2
D.
a=3,b=6
8.(4分)极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是( )
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线
9.(4分)设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|=1},N=(x,y)|y≠x+1.那么等于( )
A.
B.
{(2,3)}
C.
(2,3)
D.
{(x,y)|y=x+1}
10.(4分)(2010•建德市模拟)若实数x、y满足(x+2)2+y2=3,则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
11.(4分)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )
A.
90°
B.
60°
C.
45°
D.
30°
12.(4分)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足|a﹣b|<2h;命题乙为:两个实数a,b满足|a﹣1|<h且|b﹣1|<h.那么( )
A.
甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
B.
甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
C.
甲是乙的充分条件
D.
甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
13.(4分)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有( )
A.
24种
B.
60种
C.
90种
D.
120种
14.(4分)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )
A.
70个
B.
64个
C.
58个
D.
52个
15.(4分)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C'与C关于原点对称,那么C'所对应的函数是( )
A.
y=﹣arctg(x﹣2)
B.
y=arctg(x﹣2)
C.
y=﹣arctg(x+2)
D.
y=arctg(x+2)
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
16.(5分)双曲线的准线方程是 _________ .
17.(5分)(x﹣1)﹣(x﹣1)2+(x﹣1)3﹣(x﹣1)4+(x﹣1)5的展开式中,x2的系数等于 _________ .
18.(5分)(2011•上海模拟)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果sn是{an}的前n项的和,那么等于 _________ .
19.(5分)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是
_________ .
20.(5分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2= _________ .
三、解答题(共6小题,满分65分)
21.(10分)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
22.(10分)已知sina+sinB=,cosa+cosB=,求tg(a+B)的值.
23.(10分)如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
24.(11分)设a为实数,在复数集C中解方程:z2+2|z|=a.
25.(12分)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0)到这个椭圆上的点最远距离是.求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
26.(12分)f(x)=lg,其中a是实数,n是任意自然数且n≥2.
(Ⅰ)如果f(x)当x∈(﹣∞,1]时有意义,求a的取值范围;
(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.
参考答案
一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)
1.
考点:
对数的运算性质;指数式与对数式的互化.
分析:
根据指数式与对数式的互化可知,⇔,进而得到答案.
解答:
解:∵
∴
∴
故选A.
点评:
本题主要考查指数式与对数式的相互转化.
2.
考点:
复数代数形式的混合运算.
分析:
把复数1+i乘以cos(﹣)+isin(﹣),化简为代数形式即可.
解答:
解:复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的
向量:(1+i)[cos(﹣)+isin(﹣)]=(1+i)=,
故选D.
点评:
复数旋转,实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式,注意旋转方向,
本题是基础题.
3.
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
专题:
计算题.
分析:
设圆柱高为h,推出底面半径,求出圆柱的侧面积,然后求出圆柱的体积即可得到选项.
解答:
解:设圆柱高为h,则底面半径为.
由题意知,S=πh2,
∴h=,
∴V=π()2•h=.
故选D.
点评:
本题是基础题,考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系,考查计算能力,常考题型.
4.
考点:
正弦函数的图象;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:
计算题.
分析:
通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx,进而推断sinx=0或cosx=,进而求出x的值.
解答:
解:sin2x=2sinxcosx=sinx
∴sinx=0或cosx=
∵x∈(0,2π)
∴x=π或或
故选C
点评:
本题主要考查了三角函数的二倍角公式.属基础题.
5.
考点:
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题:
计算题;数形结合法.
分析:
由图象过(0,1)及|φ|<,求出ψ的值,函数图象过点(,0),据五点法作图的过程知
ω•+=2π,求出ω.
解答:
解:因为函数图象过(0,1),所以,1=2sinφ,∴sinφ=,∵|φ|<,
∴φ=,故函数y=2sin(ωx+),又∵函数图象过点(,0),
∴0=2sin(ω•+),由五点法作图的过程知,ω•+=2π,
∴ω=2,综上,φ=,ω=2,
故选C.
点评:
本题考查五点法作图的方法,在本题图中的一个完整的标准周期内,图象上的五个关键点的横坐标
分别为:0,,π,,2π.
6.
考点:
函数的值域;三角函数的化简求值.
专题:
计算题;分类讨论.
分析:
根据正切和余切的定义求出函数的定义域,分四种情况由三角函数值的符号,去掉绝对值求解.
解答:
解:由题意知,函数的定义域是{x|x≠,k∈Z},下由各个象限中三角函数值的符号来确定
在各个象限中函数的值
当x是第一象限角时,因所有三角函数值大于零,故y=4;
当x是第二象限角时,因为只有正弦值大于零,故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2;
当x是第三象限角时,因为正切值和余切值大于零,故y=﹣1﹣1+1+1=0;
当x是第四象限角时,因为只有余弦值大于零,故y=﹣2;
所以函数的值域是{﹣2,0,4}.
故选B.
点评:
本题主要考查了三角函数的定义以及符号,根据定义求出函数的定义域,由三角函数值的符号
进行化简求值.
7.
考点:
反函数.
分析:
本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识;
本题可有两种方法,其一,求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得,
其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系,通过在图象上取特殊点求解.
解答:
解:
法一:由题意,函数y=3x﹣b的反函数为y=,
与y=ax+2对照可得a=,b=6;
法二:在y=ax+2上取点(0,2),
则点(2,0)在y=3x﹣b上,故得b=6;
又y=3x﹣6上有点(0,﹣6),则点(﹣6,0)在y=ax+2上,代入得a=,
由此可得a=,b=6
答案:a=,b=6
点评:
本题解题思路清晰,方向明确,运算量也小,属于容易题目.这里提供了两种方法,比较可见各有
特点,直接求反函数过程简捷,较为简单,特值代入,小巧易行,过程稍繁.
8.
考点:
简单曲线的极坐标方程.
分析:
先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用
ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系,再利用直角坐标方程即可进行判断.
解答:
解:将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得:4ρsinθ=5ρ2,
化成直角坐标方程为
5x2+5y2﹣4y=0.它表示一个圆.
故选A.
点评:
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,
体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
9.
考点:
交、并、补集的混合运算.
分析:
先化简集合M,再计算.
解答:
解:∵M={(x,y)|y=x+1或(x,y)≠(2,3)},
∴,
又∵.
∴.
故答案选B.
点评:
本题主要考查了集合间的交,并,补混合运算,注意弄清各集合中的元素.
10.
考点:
简单线性规划.
专题:
计算题.
分析:
先判断出方程表示的图形,再给赋与几何意义,作出图象,结合图判断出当直线与圆相切时斜率
最大求出最大值.
解答:
解:(x+2)2+y2=3,表示以(﹣2,0)为圆心,以为半径的圆
表示圆上的点与(0,0)连线的斜率,设为k则y=kx
由图知,当过原点的直线与圆相切时斜率最大
故有解得或
由图知,
故选A
点评:
本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值.
11.
考点:
异面直线及其所成的角.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.
解答:
解:如图,取AC的中点D,连接DE、DF,∠DEF为异面直线EF与SA所成的角
设棱长为2,则DE=1,DF=1,根据SA⊥BC,则ED⊥DF
∴∠DEF=45°,
故选C.
点评:
本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
12.
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
分析:
巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件,可以解答本题.
解答:
解:由|a﹣1|<h且|b﹣1|<h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|<2h,所以甲是乙的
必要条件;
不妨令h=1,a=0.5,b=﹣0.3,|a﹣1|=0.5<1,而|b﹣1|=1.3>1,因而甲不是乙的充分条件.
故选B
点评:
|a|+|b|≥|a+b|的合理运用,以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用,是解答甲是乙的必要条件的
一个关键;充分条件的推导用的是特殊值否定法.
13.
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
转化思想.
分析:
根据题意,首先计算五人并排站成一排的情况数目,进而分析可得,B站在A的左边与B站在A的
右边是等可能的,使用倍分法,计算可得答案.
解答:
解:根据题意,使用倍分法,
五人并排站成一排,有A55种情况,
而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的,
则其情况数目是相等的,
则B站在A的右边的情况数目为×A55=60,
故选B.
点评:
本题考查排列、组合的应用,注意使用倍分法时,注意必须保证其各种情况是等可能的.
14.
考点:
棱锥的结构特征.
专题:
压轴题;分类讨论.
分析:
以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点,可得四面体的个数.
解答:
解:正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个
不能组成四面体的4个顶点有,已有的6个面,对角面有6个
所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有:70﹣12=58个
故选C.
点评:
本题考查棱锥的结构特征,考查逻辑思维能力,是中档题.
15.
考点:
函数的图象与图象变化.
专题:
压轴题.
分析:
根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可.
解答:
解:将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C
则C对应的解析式为y=arctg(x﹣2)
又∵图象C'与C关于原点对称
则C'对应的解析式为y=﹣arctg(﹣x﹣2)=arctg(x+2)
故选D
点评:
平移变换的口决是“左加右减,上加下减”
对称变换的口决是“关于Y轴负里面,关于X轴负外面,关于原点,既负里面,又负外面”
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
16.
考点:
双曲线的简单性质.
专题:
计算题.
分析:
由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解.
解答:
解:∵a=4,b=3,
则c=5,
双曲线的准线方程是,
故答案是.
点评:
本题比较简单,解题时要注意双曲线的焦点在y轴上.
17.
考点:
二项式定理的应用.
专题:
计算题.
分析:
多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和,利用二项展开式的通项公式求出各
个系数.
解答:
解:展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52
=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20
故答案为﹣20
点评:
本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用.
18.
考点:
等差数列的性质;极限及其运算;等差数列的前n项和.
分析:
设an=a1+(n﹣1)d,sn=na1+d,代入求出极限即可.
解答:
解:设an=a1+(n﹣1)d,sn=na1+d,代入得
===2
故答案为2
点评:
考查学生运用等差数列性质的能力,运用等差数列求和公式的能力,会求极限及运算极限的能力.
19.
考点:
三角函数的最值.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
利用sinx与cosx的平方关系,令sinx+cosx=t,通过换元,将三角函数转化为二次函数,
求出对称轴,利用二次函数的单调性求出最值.
解答:
解:令t=sinx+cosx=则
∴sinxcosx=
∴y==()
对称轴t=﹣1
∴当t=时,y有最大值
故答案为
点评:
本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的
最值的求法.
20.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设AEF面积为s1,ABC和A1B1C1的面积为s,三棱柱高位h;VAEF﹣A1B1C1=V1;VBCFE﹣B1C1=V2;总体积为:V,
根据棱台体积公式求V1;V2=V﹣V1以及面积关系,求出体积之比.
解答:
解:由题:设AEF面积为s1,ABC和A1B1C1的面积为s,三棱柱高位h;VAEF﹣A1B1C1=V1;
VBCFE﹣B1C1=V2;总体积为:V
计算体积:
V1=h(s1+s+)①
V=sh ②
V2=V﹣V1③
由题意可知,s1=④
根据①②③④解方程可得:V1=sh,V2=sh;则
故答案为:
点评:
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,转化思想,考查空间想象能力,是基础题.
三、解答题(共6小题,满分65分)
21.
考点:
数列的应用.
专题:
计算题.
分析:
设四个数依次为x,y,12﹣y,16﹣x.根据等差数列和等比数列的性质知
,由此能求出这四个数.
解答:
解:设四个数依次为x,y,12﹣y,16﹣x.
依题意,有
由①式得x=3y﹣12.③
将③式代入②式得y(16﹣3y+12)=(12﹣y)2,
整理得y2﹣13y+36=0.
解得y1=4,y2=9.
代入③式得x1=0,x2=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
点评:
本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用.
22.
考点:
两角和与差的正弦函数;同角三角函数基本关系的运用.
分析:
和差化积,两已知等式出现相同的因式,两式相除,约分得角的正切,用二倍角公式代入
即求的结果,注意二倍角公式的符号.
解答:
解法一:由已知得
sinα+sinβ=2sincos=,
cos,
两式相除得tan=,
tan(α+β)=
=
点评:
数学课本中常见的三角函数恒等式的变换,既是重点,又是难点.其主要难于三角公式多,
难记忆,角度变化、函数名称变化,运算符号复杂、难掌握,解题时抓住题目本质,
熟记公式,才不会出错.
23.
考点:
平面与平面之间的位置关系.
专题:
计算题.
分析:
欲证BD⊥DE,BD⊥DC,先证BD⊥面SAC,从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角,利用
Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可.
解答:
解:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,
∴SA⊥BD.
而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.
∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA=a,则AB=a,BC=SB=a
∵AB⊥BC,∴AC=,在Rt△SAC中tan∠ACS=
∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.
点评:
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,
属于基础题.
24.
考点:
复数的基本概念;复数相等的充要条件.
专题:
压轴题;分类讨论.
分析:
由于z2=a﹣2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.当z是实数时,本题是一个
关于z的一元二次方程组,解方程组即可;当z是一个纯虚数时,按照实数方程求解得到z的虚部,
写出纯虚数即可.
解答:
解:设|z|=r.若a<0,则z2=a﹣2|z|<0,于是z为纯虚数,从而r2=2r﹣a.
由于z2=a﹣2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.
解得r=(r=<0,不合,舍去).故z=±()i.
若a≥0,对r作如下讨论:
(1)若r≤a,则z2=a﹣2|z|≥0,于是z为实数.
解方程r2=a﹣2r,得r=(r=<0,不合,舍去).
故z=±().
(2)若r>a,则z2=a﹣2|z|<0,于是z为纯虚数.
解方程r2=2r﹣a,得r=或r=(a≤1).
故z=±()i(a≤1).
综上所述,原方程的解的情况如下:
当a<0时,解为:z=±()i;
当0≤a≤1时,解为:z=±(),z=±()i;
当a>1时,解为:z=±().
点评:
本题还可以令z=x+yi(x、y∈R)代入原方程后,由复数相等的条件将复数方程化归为关于x,
y的实系数的二元方程组来求解.
25.
考点:
椭圆的应用.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由题设条件取椭圆的参数方程,其中0≤θ<2π,根据已知条件和椭圆的性质能够推出
b=1,a=2.从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解答:
解:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中0≤θ<2π,
由可得,即a=2b.
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
=
=
=
=.
如果,即,则当sinθ=﹣1时,d2有最大值,由题设得,
由此得,与矛盾.
因此必有成立,于是当时,d2有最大值,由题设得,
由此可得b=1,a=2.
∴椭圆的方程是,所求椭圆的参数方程是,
由可得,
椭圆上的点和到点P的距离都是.
点评:
本题考查椭圆的性质及其应用,解题时要注意参数方程的合理运用.
26.
考点:
对数函数图象与性质的综合应用.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(Ⅰ)、f(x)当x∈(﹣∞,1]时有意义的条件是1+2x+…+(n﹣1)x+nxa>0,x∈(﹣∞,1],n≥2,即,然后由函数的单调性求实数
a的取值范围.
(Ⅱ)、欲证如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立,只需证明n≥2时,
[1+2x+…+(n﹣1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n﹣1)2x+n2xa],a∈(0,1],x≠0即可得证.
解答:
解:(Ⅰ)f(x)当x∈(﹣∞,1]时有意义的条件是1+2x+…+(n﹣1)x+nxa>0,
x∈(﹣∞,1],n≥2,
即,
∵上都是增函数,
∴在(﹣∞,1]上也是增函数,
从而它在x=1时取得最大值.
所以,
∵等价于,
故a的取值范围是{a|a>﹣}.
(Ⅱ)证明:只需证明n≥2时,[1+2x+…+(n﹣1)x+nxa]2
<n[1+22x+…+(n﹣1)2x+n2xa],a∈(0,1],x≠0.
∵(a1+a2+…+an2)2=(a12+a22+…an2)+2(a1a2+a2a3+…+an﹣1an)
≤(a12+a22+…an2)+[(a12+a22)+…+(a12+an2)]+[(a22+a32)
+…+(a22+an2)]+…+[(an﹣22+an﹣12)+(an﹣22+an2)]+(an﹣12+an2)
=n(a12+a22+…+an2).
于是(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)当a1=a2=…=an时成立.
利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,
所以有[1+2x+…+(n﹣1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n﹣1)2x+n2xa],a∈(0,1],
当0<a<1,x≠0时,因a2<a,
所以有[1+2x+…+(n﹣1)x+nxa]2<n[1+22x+…+(n﹣1)2x+n2xa],
即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.
点评:
本题是比较难的对数函数的综合题,在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用,
并且细心运算,避免不必要的错误.