2007年黑龙江高考理科数学真题及答案.doc

2007年黑龙江高考理科数学真题及答案 注意事项： 1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 1．（ ） A． B． C． D． 2．函数的一个单调增区间是（ ） A． B． C． D． 3．设复数满足，则（ ） A． B． C． D． 4．下列四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 5．在中，已知是边上一点，若，则（ ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ） A． B． C． D． 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ） A．9 B．6 C．4 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷共10题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm． 16．已知数列的通项，其前项和为，则 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，已知内角，边．设内角，周长为． （1）求函数的解析式和定义域； （2）求的最大值． 18．（本小题满分12分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率； A E B C F S D （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形， 侧棱底面分别为的中点． （1）证明平面； （2）设，求二面角的大小． 20．（本小题满分12分） 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切． （1）求圆的方程； （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围． 21．（本小题满分12分） 设数列的首项． （1）求的通项公式； （2）设，证明，其中为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：． 参考答案 评分说明： 1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（1）的内角和，由得． 应用正弦定理，知 ， ． 因为， 所以， （2）因为 ， 所以，当，即时，取得最大值． 18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则互斥，且，故 于是． 解得（舍去）． （2）的可能取值为． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ． 所以的分布列为 0 1 2 A E B C F S D H G M 19．解法一： （1）作交于点，则为的中点． 连结，又， 故为平行四边形． ，又平面平面． 所以平面． （2）不妨设，则为等 腰直角三角形． 取中点，连结，则． 又平面，所以，而， 所以面． 取中点，连结，则． 连结，则． 故为二面角的平面角 A A E B C F S D G M y z x ． 所以二面角的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系． 设，则 ， ． 取的中点，则． 平面平面， 所以平面． （2）不妨设，则． 中点 又，， 所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ． 所以二面角的大小为． 20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 ． 得圆的方程为． （2）不妨设．由即得 ． 设，由成等比数列，得 ， 即 ． 由于点在圆内，故 由此得． 所以的取值范围为． 21．解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故． 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数． 方法二： 由（1）可知， 因为， 所以 ． 由可得， 即 两边开平方得 ． 即 为正整数． 22．解：（1）求函数的导数；． 曲线在点处的切线方程为： ， 即 ． （2）如果有一条切线过点，则存在，使 ． 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记 ， 则 ． 当变化时，变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．