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2005年陕西高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷 参考公式： 球的表面积公式 S=4 其中R表示球的半径， 球的体积公式 V=， 其中R表示球的半径 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一、选择题： （1）已知为第三象限角，则所在的象限是 （A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限 （C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限 （2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 （A）0 （B）-8 （C）2 （D）10 （3）在的展开式中的系数是 （A）-14 （B）14 （C）-28 （D）28 (4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 （A） （B） （C） （D） （5） (A) (B) (C) (D) (6)若,则 (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c (7)设,且,则 (A) (B) (C) (D) (8) (A) (B) (C) 1 (D) （9）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为 （A） （B） （C） （D） （10）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A） （B） （C） （D） （11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个 （12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （A）6E （B）72 （C）5F （D）B0 第Ⅱ卷 二．填空题（16分） （13）已知复数,复数Z满足Z=3Z+,则复数Z=_________________ （14）已知向量，且A、B、C三点共线，则k= （15）高为平面上过(0,1)的直线, 的斜率等可能地取,用表示坐标原点到的距离,由随机变量的数学期望E=___________ （16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 三.解答题： (17) (本小题满分12分) 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. （18）(本小题满分12分) 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD． （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． (19)在,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB=. ①求cotA+cotB的值。 ②设，求a + c 的值。 （20）(本小题满分12分) 在等差数列 已知数列成等比数列,求数列的通项 (21) (本小题满分14分) 设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论； （Ⅱ）当时，求直线的方程. （22）已知函数 ①求的单调区间和值域。 ②设,函数,若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围。 参考答案 一.DBBCA，CCBCD，BA 二.13、，14、，15、，16、3 三.解答题： （17）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分 则A、B、C相互独立， 由题意得： P（AB）=P（A）P（B）=0.05 P（AC）=P（A）P（C）=0.1 P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分 （Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 ……………………………10分 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为……12分 （18）证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，）， ∴………………………………3分 由……………………………………4分 ……………………………………5分 又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………………………7分 设是面VDB的法向量，则 ……9分 ∴，……………………………………11分 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为…………12分 （19）（I）由cosB=得， 于是 = (II)由得 由余弦定理 得 a+c=3 （20）解：由题意得：……………………………………………………1分 即……………………………………………………………3分 又∴…………………………………………………………………………4分 又成等比数列, ∴该数列的公比为，……………………………………………………6分 所以…………………………………………………………………………8分 又…………………………………………………………10分 ∴ 所以数列的通项为…………………………………………………………12分 （21）解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴， ∴焦点为………………………………………………………………1分 （1）直线的斜率不存在时，显然有=0………………………………3分 （2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b 即直线：y=kx+b 由已知得： ……………………………………………………5分 ………………………………………………7分 即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分 （Ⅱ）当时， 直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b………………………………10分 则由（Ⅰ）得： ………………………………………………11分 ………………………………………………………………13分 所以直线的方程为，即………………14分 (22)解：(I)对函数求导，得 令解得 或 当x变化时。，的变化情况如下表： x 0 (0,) () 1 _ 0 + -4 -3 所以，当时， 是减函数；当时，是增函数。 当时，的值域为[-4，-3]。 （II）对函数求导，得图表 1 时， 因此当时。为减函数，从而当时有 又,即当时有 任给，，存在，使得，则 即解得 又，所以a 的取值范围为