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2006年重庆高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合，则＝（ ） （A） （B） （C） （D）{} （2）在等差数列中，若，是数列的的前n项和，则的值为（ ） （A）48 (B)54 (C)60 （D）66 （3）过坐标原点且与圆相切的直线方程为（ ） （A） （B） （C） （D） （4）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ） （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 （5）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） （A）－540 （B）－162 （C）162 （D）540 （6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是（ ） （A）20 （B）30 （C）40 （D）50 （7）与向量的夹角相等，且模为1的向量是（ ） （A）（B）（C）（D） （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ） （A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种 （9）如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ） （10）若且则的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上 （11）复数的值是 。 （12） 。 （13）已知 ，则 。 （14）在数列中，若，则该数列的通项 。 （15）设，函数有最大值，则不等式的解集为 。 （16）已知变量满足约束条件若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。 三、解答题：三大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分） 设函数（其中），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。 （I）求的值。 （II）如果在区间上的最小值为，求的值。 （18）（本小题满分13分） 某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： （I）随机变量的分布列; （II）随机变量的期望; （19）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD，为直角，,E、F分别为、中点。 （I）试证：平面; （II）高，且二面角 的平面角大小，求的取值范围。 （20）（本小题满分13分） 已知函数，其中为常数。 （I）若，讨论函数的单调性； （II）若，且，试证： （21）（本小题满分12分） 已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 （22）（本小题满分12分） 已知一列椭圆。……。若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。 （I）试证：; （II）取，并用表示的面积，试证：且 2006年重庆高考理科数学真题参考答案 一、选择题：每小题5分，满分50分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A C B B D D （1）已知集合，={1，3，6}，={1，2，6，7}，则＝{1，2，3，6，7}，选D. （2）在等差数列中，若，则，是数列的的前n项和，则==54，选B. （3）过坐标原点的直线为，与圆相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径，则，解得，∴ 切线方程为，选A. （4）对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内，且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，综上所述，选C. （5）若的展开式中各项系数之和为=64，，则展开式的常数项为=－540，选A. （6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：根据该图可知，组距=2，得这100名学生中体重在的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C. （7）与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选B. （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B. （9）如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D. （10）若且 所以，∴ ，则()≥，选D. 二、填空题：每小题4分，满分24分。 （11） （12） （13） （14） （15） （16） （11）复数=。 （12）。 （13）已知 ，，，∴ ，， 则= = （14）在数列中，若，∴ ，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项. （15）设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 0<a<1， 则不等式的解为，解得2<x<3，所以不等式的解集为. （16）已知变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，，目标函数（其中）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+∞)。 三、解答题：满分76分 （17）（本小题13分） （18）（本小题13分） 解：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4，5。 由等可能性事件的概率公式得 从而，的分布列为 0 1 2 3 4 5 （II）由（I）得的期望为 （19）（本小题13分） （I）证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，，故由三垂线定理知D 中,E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而，由此得面BEF。 （II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而为二面角E－BD－C的平面角。 设 以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。连结GD，因 故GH＝.在。而 。因此，。由知是锐角。故要使 ，必须，解之得，中的取值范围为 （20）（本小题13分） （21）题（本小题12分） （22）（本小题12分） 证：（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。设，则右准线方程为.因此，由题意应满足即解之得：。即从而对任意 （II）高点的坐标为，则由及椭圆方程易知因，故 的面积为，从而。令。由得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。 现在由题设取则是增数列。又易知 。故由前已证，知，且