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2006年福建高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 (2)在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于 A.40 B.42 C.43 D.45 (3)已知∈(,)，sin=,则tan()等于 A. B.7 C.－ D.－7 (4)已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x－6x+8<0｝，则(A)∩等于 A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4) (5)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 A.2 B. C. D. (6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A. B. C. D. (7)对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则n∥m (8)函数y=㏒(x﹥1)的反函数是 A.y= (x>0) B.y= (x<0) C.y= (x>0) D. .y= (x<0) (9)已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于 A. B. C.2 D.3 (10)已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) (11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于 A. B.3 C. D. (12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱. 给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. (13)(x－)展开式中x的系数是 (用数字作答) (14)已知直线x－y－1=0与抛物线y=ax相切，则a= (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是 . 二、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR. （I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？ （18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD； （Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小； （Ⅲ）求点E到平面的距离. （19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。 （Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （20）（本小题满分12分） 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. （21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。 （22）（本小题满分14分） 已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N) （Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; （Ⅲ）证明:(n∈N*). 2006年福建高考理科数学真题参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分. (1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. (13)10 (14)　　　　　(15) (16)() 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分12分. 解:（1）f(x)= = =sin(2x+. ∴f(x)的最小正周期T==π. 由题意得2kπ-≤2x+,k∈Z, ∴f(x)的单调增区间为［kπ-］,k∈Z. (2)方法一： 先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度，就得到y=sin(2x+)+的图象. 方法二： 把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象. (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 方法一: (1)证明：连结OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=. 而AC=2, ∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC. ∴AB平面BCD. （Ⅱ）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC. ∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角. 在△OME中， 是直角△AOC斜边AC上的中线，∴ ∴ ∴异面直线AB与CD所成角的大小为 （Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h. , ∴·S△ACD =·AO·S△CDE. 在△ACD中，CA=CD=2,AD=, ∴S△ACD= 而AO=1, S△CDE= ∴h= ∴点E到平面ACD的距离为. 方法二： （Ⅰ）同方法一： （Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)， C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0), ∴ ∴异面直线AB与CD所成角的大小为 （Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则 ∴ 令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量. 又 ∴点E到平面ACD的距离 h= (19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分. 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得 h(x)=()·, h’(x)=(0＜x≤120＝ 令h’(x)=0，得x=80. 当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. (20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法， 考查运算能力和综合能力.满分12分. 解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圆过点O、F. ∴圆心M在直线x=- 设M(-),则圆半径 r=|(-)-(-2)|=. 由|OM|=r,得 解得t=±, ∴所求圆的方程为(x+)2+(y±) 2=. (2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0), 代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. ∵直线AB过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根. 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1+x1=- x0= AB垂直平分线NG的方程为 令y=0，得 ∵ ∴点G横坐标的取值范围为（）。 （21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16, 当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增， h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7; 当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16; 当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减， h(t)=f(x)=－t2+8t . t<3, 3≤t≤4, t>4 综上，h(t)= （II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数 j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ∴j(x)=x2－8x+16ln x+m, ∵j′(x)=2x－8+ 当x∈(0,1)时，j′(x)>0，j(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，j′(x)<0，j(x)是减函数； 当x∈(3,+∞)时，j′(x)>0，j(x)是增函数； 当x=1，或x=3时， j′(x)=0； ∴j(x)极大值=j(1)=m－7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 3－15. ∵当x充分接近0时，j(x)<0，当x充分大时，j(x)>0. ∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 既7<m<－6ln 3. 所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15—6ln 3）. （22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。 （I）解：∵an+1=2 an+1（n∈N）, ∴an+1+1=2(an+1), ∴| an+1| 是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。 ∴an+1=2n， 既an=2n－1(n∈N)。 （II）证法一：∵4b1－14 b2－2…4 bn－1=(a+1)bn， ∵4k1+k2+…+kn =2nk, ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ① 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1 ② ②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb, 即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. ③ nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0, 即 bn+2-2bn+1+b=0, ∴bn-2-bn+1=bn(n∈N*), ∴{bn}是等差数列. 证法二：同证法一，得 (n-1)bn+1=nbn+2=0 令n=1，得b1=2. 设b2=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d. (1)当n=1,得b1=2. (2)假设当n=k(k≥2)时，b1=2+(k-1)d,那么 bk+1= 这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知bn=2(n-1)d对任何n∈N*都成立. ∵bn+1-bn=d, ∴{bn}是等差数列. (3)证明：∵ ∴ ∵≥(),k=1,2,…,n,