2007年重庆高考理科数学真题及答案.doc

2007年重庆高考理科数学真题及答案 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 2、命题“若，则”的逆否命题是（ ） A、若≥，则≥或≤ B、若，则 C、若或，则 D、若≥或≤，则≥ 3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分 4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A、10 B、20 C、30 D、120 5、在中，，则等于（ ） A、 B、 C、2 D、 6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A、 B、 C、 D、 7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ） A、 B、 C、 D、 8、设正数满足等于（ ） A、0 B、 C、 D、1 9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A、 B、 C、 D、 D C B A 10、如右图，在四边形ABCD中，，，，则的值为（ ） A、2 B、 C、4 D、 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上. 11、复数的虚部为_______________. 12、已知满足则函数的最大值是____________. 13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________. 14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________. 15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答） 16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分） 设. （Ⅰ）求的最大值及最小正周期； （Ⅱ）若锐角满足，求的值. 18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率； （Ⅱ）获赔金额的分布列与期望. 19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分） 如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为. （Ⅰ）求异面直线与的距离； C E D A1 B1 C1 C B A （Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值. 20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分） 已知函数在处取得极值，其中a、b为常数. （Ⅰ）试确定a、b的值； （Ⅱ）讨论函数的单调区间； （Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证： . 22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明： O F P3 P2 P1 为定值，并求此定值. 参考答案（理工科） 一、选择题 ADCBA CBBDC 二、填空题： 11、 12、7 13、 14、18 15、25 16、 三、解答题： 17、解：（Ⅰ） 故的最大值为； 最小正周期. （Ⅱ）由得，故. 又由得，故，解得. 从而. 18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，. 由题意知独立，且. （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 . （Ⅱ）的所有可能值为. , ， ， . 综上知，的分布列为 0 9000 18000 27000 P 求的期望有两种解法： 解法一：由的分布列得 （元） 解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，， 则有分布列 0 9000 P 故. 同理得. 综上有 （元）. 19、解法一： （Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又 B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线. 设BD的长度为，则四棱椎的体积为 . 而直三棱柱的体积为. B1 F C E D A1 C1 C B A 由已知条件，故，解得. 从而B1D. 又直角三角形中， , 又因. 故. （Ⅱ）如右图，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F.因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D， 故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角. 在直角中，， 又因，故 ，所以. 20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而. 又对求导得. 由题意，因此，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得. 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数. 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值. 要使恒成立，只需. 即，从而. 解得或. 所以的取值范围为 21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因 此. 又由，得 ，即或. 因，故不成立，舍去. 因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为 . （Ⅱ）证法一：由可解得 从而. 因此. 令，则 . 因，故. 特别地，从而， 即. 证法二：同证法一求得及. 由二项式定理知，当时，不等式成立. 由此不等式有 . 证法三：同证法一求得及. 令. 因，因此. 从而 证法四：同证法一求得及. 下面用数学归纳法证明：. 当时，，因此，结论成立. 假设结论当时成立，即，则当时， . 因，故. 从而.这就是说当时结论也成立. 综上对任何成立. A Q1 O F P3 P2 P1 22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为. 因焦点为，故半焦距.又右 准线的方程为，从而由已知 ， 因此. 故所求椭圆方程为. （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设 ，且. 又设在上的射影为，因椭圆的离心率， 从而有. 解得. 因此 ， 而 ， 故为定值.