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2006年湖北高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、集合P＝｛x」x2－16<0｝,Q＝｛x」x＝2n，nZ｝,则PQ＝ A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛2，0，－2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则 A. B. 4 C. D. 2 3、已知＝，A∈（0，），则 A. B． C． D． 4、在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9 A. 81 B. 27 C. D. 243 5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么 A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m、n与平面与，有下列四个命题： ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则； ④若且，则； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7、设f(x)＝，则的定义域为 A. B.(－4,－1)(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4) 8、在的展开式中，x的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项 9、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 10、关于x的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项： 第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝ . 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0．01） 13、若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 15、半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分12分） 设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。 17、（本小题满分12分） 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 （Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 18、（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。 19、（本小题满分12分） 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。 20、（本小题13分） 设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。 21、（本小题满分13分）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； _ 2 _ 1 _ - 1 _ - 2 _ - 3 _ - 4 _ - 2 _ 2 _ 4 _ B _ A _ M _ N （Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图） 2006年湖北高考文科数学真题参考答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、集合P＝｛x|x2－16<0｝,Q＝｛x|x＝2n，nZ｝,则PQ＝（C） A.｛-2,2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝ 解：P＝｛x|x2－16<0｝＝｛x|－4<x<4｝，故PQ＝｛－2，0，2｝，故选C 2、已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则（D） A. B. 4 C. D. 2 解：由a＋2b与a－2b互相垂直Þ（a＋2b）·（a－2b）＝0Þa2－4b2＝0 即|a|2＝4|b|2Þ|a|＝2|b|，故选D 3、已知，A∈（0，），则（A） A. B． C． D． 解：由sin2A＝2sinAcosA＝>0，又A∈（0，）所以AÎ（0，），所以sinA＋cosA>0 又（sinA＋cosA）2＝1＋2sinAcosA＝故选A 4、在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9＝（ A ） A. 81 B. 27 C. D. 243 解：因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝ （a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选A 5、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（B） A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。故选 B 6、关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：（D） ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则； ④若且，则； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解：用排除法可得选D 7、设f(x)＝，则的定义域为 A. B.(－4,－1)(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4) 解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4 故选B 8、在的展开式中，x的幂的指数是整数的有（C） A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项 解：，当r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C 9、设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，则点P的轨迹方程是（ D ） A. B. C. D. 解：设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得 故选D 10、关于x的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是（ A ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：关于x的方程可化为…………（1） 或（－1<x<1）…………（2） ① 当k＝－2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根 ② 当k＝时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根 ③ 当k＝0时，方程（1）的解为－1，＋1，±，方程（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k＝时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根 选A 二、填空题：11. 12. 0.94 13. (0，) 14. 78 15.（R3）`＝4R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝. 解：由正弦定理易得结论。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为精确到0．01） 解：P＝＝0.94 13、若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是. 解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，解得kÎ(0，) 14、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.(用数字作答) 解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有种排法 （2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有种排法 故共有78种不同排法 15、半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为：。 解：V球＝，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分12分） 设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。 16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。 解：（Ⅰ）∵ ∴的最大值为，最小正周期是。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 即成立的的取值集合是. 17、（本小题满分12分） 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 （Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%. 故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、 50％、10％。 （Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；抽取的中年人数为 50％＝75（人）；抽取的老年人数为10％＝15（人）。 18、（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N. （Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。 18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，—AM—N的平面角。又M=,MN=, 连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。 （Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，H＝M。故点到平面AMN的距离为1。 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）, C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以， ，,。 因为 所以,同法可得。 故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角 ∴﹤﹥＝ 故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。 （Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得 故可取 设与n的夹角为a，则。 所以到平面AMN的距离为。 19、（本小题满分12分） 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。 19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。 解：依题意有而 故 解得 从而 。 令，得或。 由于在处取得极值，故，即。 （1） 若，即，则当时，； 当时，；当时，； 从而的单调增区间为；单调减区间为 （2） 若，即，同上可得， 的单调增区间为；单调减区间为 20、（本小题13分） 设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。 20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。 解：（I）依题意得，即。 当n≥2时，a; 当n=1时，×-2×1-1-6×1-5 所以。 （II）由（I）得， 故=。 因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。 21、（本小题满分13分） 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。 _ 2 _ 1 _ - 1 _ - 2 _ - 3 _ - 4 _ - 2 _ 2 _ 4 _ B _ A _ M _ N （此题不要求在答题卡上画图） 21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 解：（I）依题意得解得 从而b=, 故椭圆方程为。 （II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。设。 点在椭圆上，。 又点异于顶点 曲三点共线可得. 从面 . 将①式代入②式化简得 >0,>0.于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内. 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。 点M、N分别在直线AP、BP上， ＝（＋2），＝（－2）.从而＝（＋2）（－2）.③ 联立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0. ，－2是方程得两根，（－2）．，即＝. ④ 又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋. ⑤ 于是由③、④式代入⑤式化简可得 ．＝（－2）. N点在椭圆上，且异于顶点A、B，<0. 又，> 0, 从而．<0. 故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内. 解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2 , －2<<2.又MN的中点Q的坐标为（）， 化简得－＝（－2）（－2）＋. ⑥ 直线AP的方程为，直线BP的方程为. 点P在准线x＝4上， ，即. ⑦ 又M点在椭圆上，＋＝1，即 ⑧ 于是将⑦、⑧式化简可得－＝. 从而B在以MN为直径的圆内.