2023届辽宁省凤城市第一中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 2．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( ) A． B． C． D． 3．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( ) A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③ 4．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 5．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A． B． C． D． 6．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ） A． B． C． D． 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A． B． C． D． 11．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 12．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法. 14．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____. 15．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________． 16．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形； （3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由. 18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，. （1）若，证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 19．（12分）记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，. （1）求抛物线的方程； （2）若，直线与交于点，，求直线的斜率. 20．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，. （1）求证：； （2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 21．（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点. （I）求椭圆C的方程； （II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据列方程，由此求得的值，进而求得. 【题目详解】 由于，所以，即 ， 解得. 所以 所以 . 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 2、C 【答案解析】 求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得 【题目详解】 抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题. 3、C 【答案解析】 根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【题目详解】 根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确； 若，，平面可能相交，故②错误； 若，，则可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题. 4、A 【答案解析】 根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解. 【题目详解】 输入，， 因为，所以由程序框图知， 输出的值为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题. 5、B 【答案解析】 选B. 考点：圆心坐标 6、C 【答案解析】 设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解. 【题目详解】 设球的半径为R， 根据题意圆柱的表面积为， 解得， 所以该球的体积为 . 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 7、C 【答案解析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【题目详解】 由三视图可知， 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形， 侧棱长为，如图： 由底面边长可知，底面三角形的顶角为， 由正弦定理可得，解得， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以， 该几何体外接球的表面积为：. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 8、B 【答案解析】 分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限. 【题目详解】 因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 9、D 【答案解析】 利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解 【题目详解】 因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即. 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 10、B 【答案解析】 根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项. 【题目详解】 .设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 11、C 【答案解析】 框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【题目详解】 第一次循环：；第二次循环：； 第三次循环：；第四次循环：； 此时满足输出结果，故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 12、C 【答案解析】 由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，据此可计算出答案. 【题目详解】 由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6， 该几何体的表面积. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、24 【答案解析】 先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可. 【题目详解】 解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有， 若甲乙两名护士到同一地的种数有， 则甲乙两名护士不到同一地的种数有. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题. 14、 【答案解析】 对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【题目详解】 由题：函数在区间内有且仅有两个零点， ， 等价于函数恰有两个公共点， 作出大致图象： 要有两个交点，即， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解. 15、 【答案解析】 作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【题目详解】 设是准线，过作于，过作于，过作于，如图， 则，，∵，∴，∴， ∴，， ∴，∴直线斜率为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解． 16、 【答案解析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果. 【题目详解】 先做的区域如图可知在三角形ABC区域内， 由得可知，直线的截距最大时，取得最小值， 此时直线为， 作出直线，交于A点， 由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点， 由，得，代入，得， 所以点C的坐标为． 等价于点与原点连线的斜率， 所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，