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2006
湖南
高考
文科
数学
答案
2006年湖南高考文科数学真题及答案
本试题卷他选择题和非选择题(包括填空题和解答题)两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.
参考公式:
如果事件、互斥,那么
如果事件、相互独立,那么
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是
球的体积公式 ,球的表面积公式,其中表示球的半径
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域是
A.(0,1] B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. [1,+∞)
2.已知向量若时,∥;时,,则
A. B.
C. D.
3. 若的展开式中的系数是80,则实数a的值是
A.-2 B. C. D. 2
4.过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是
A.π B. 2π C. 3π D.
5.“a=1”是“函数在区间[1,+∞)上为增函数”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是
A.6 B. 12 C. 18 D. 24
7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A.36 B. 18 C. D.
8.设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,则的最小正周期是
A.2π B. π C. D.
9.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且,则双曲线M的离心率是
A. B. C. D.
A
B
O
M
图1
10. 如图1:OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是
A. B.
C. D.
二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题上部 对应题号的横上.
11. 若数列满足:,2,3….则 .
12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人,乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
13. 已知则的最小值是 .
14. 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
15. 若是偶函数,则a= .
三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知求θ的值.
17.(本小题满分12分)
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格,则必须整改. 若整改后经复查仍不合格,则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率;
Q
B
C
P
A
D
图2
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
18.(本小题满分14分)
如图2,已知两个正四棱锥P-ABCD与
Q-ABCD的高都是2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
19.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分14分)
在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an,如排列21的逆序数,排列321的逆序数.
(Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式;
(Ⅱ)令,证明,n=1,2,….
21.(本小题满分14分)
已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
2006年湖南高考文科数学真题参考答案
1-10:DCDAABCBCDC
11. 12. 85 13. 5 14. 6 15. -3 .
16. 解 由已知条件得.
即.
解得.
由0<θ<π知,从而.
17. 解 (Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.
(Ⅱ)解法一 某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是,从而煤矿不被关闭的概率是0.90.
解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况:(i)该煤矿第一次安检合格;(ii)该煤矿第一次安检不合格,但整改后合格.
所以该煤矿不被关闭的概率是.
(Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知,每家煤矿不被关闭的概率是0.9,且每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所以到少关闭一家煤矿的概率是.
18. 解法一 (Ⅰ)连结AC、BD,设.
由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
Q
B
C
P
A
D
z
y
x
O
由(Ⅰ),QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),由题条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,2),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).
所以
于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由(Ⅱ),点D的坐标是(0,-,0),,
,设是平面QAD的一个法向量,由
得.
取x=1,得.
所以点P到平面QAD的距离.
解法二 (Ⅰ)取AD的中点,连结PM,QM.
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,
所以AD⊥PM,AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.
又平面PQM,所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.
Q
B
C
P
A
D
O
M
(Ⅱ)连结AC、BD设,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.
因为OA=OC,OP=OQ,所以PAQC为平行四边形,AQ∥PC.
从而∠BPC(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.
因为,
所以.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)连结OM,则.
所以∠PMQ=90°,即PM⊥MQ.
由(Ⅰ)知AD⊥PM,所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.
在直角△PMO中,.
即点P到平面QAD的距离是.
19. 解 (Ⅰ)由题设知.
令.
当(i)a>0时,
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
(i i)当a<0时,
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.
因为线段AB与x轴有公共点,所以.
即.所以.
故.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].
20. 解 (Ⅰ)由已知得,
.
(Ⅱ)因为,
所以.
又因为,
所以
=.
综上,.
21. 解 (Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为
x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).
因为点A在抛物线上,所以,即.
此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)解法一 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
则x1,x2是方程①的两根,x1+x2=.
A
y
B
O
x
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,
所以,且
.
从而.
所以,即.
解得.
因为C2的焦点在直线上,所以.
即.
当时,直线AB的方程为;
当时,直线AB的方程为.
解法二 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上,
所以,即.代入①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
则x1,x2是方程②的两根,x1+x2=.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2=.
从而=. 解得.
因为C2的焦点在直线上,所以.
即.
当时,直线AB的方程为;
当时,直线AB的方程为.
解法三 设A、B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
因为AB既过C1的右焦点,又是过C2的焦点,
所以.
即. ……①
由(Ⅰ)知,于是直线AB的斜率, ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为,所以. ……④
将①、②、③代入④得,即.
当时,直线AB的方程为;
当时,直线AB的方程为.