2003年湖南高考文科数学真题及答案.doc

2003年湖南高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（　　） A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x 2．（5分）已知x∈（，0），cosx，则tan2x等于（　　） A． B． C． D． 3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 4．（5分）等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，an＝33，则n为（　　） A．48 B．49 C．50 D．51 5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（　　） A．lg2 B．lg32 C． D． 8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（　　） A．0 B． C． D．π 9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（　　） A． B． C． D． 10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（　　） A．2πR2 B． C． D． 11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（　　） A． B． C． D．1 12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　） A．3π B．4π C．3 D．6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）不等式的解集是　 　． 14．（4分）在的展开式中，x3的系数是　 　（用数字作答） 15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　 　．” 16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　 　种．（以数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点． （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离． 18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|． 19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）证明． 20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函数f（x）的最小正周期和最大值； （2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象． 21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由． 2003年全国统一高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（　　） A． B． C．y＝﹣2x D．y＝2x 【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x）， ∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为： y＝﹣2x． 故选：C． 2．（5分）已知x∈（，0），cosx，则tan2x等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵cosx，x∈（，0）， ∴sinx．∴tanx． ∴tan2x． 故选：D． 3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2y， 则其准线方程为y2， 所以a． 故选：B． 4．（5分）等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，an＝33，则n为（　　） A．48 B．49 C．50 D．51 【解答】解：设{an}的公差为d， ∵，a2+a5＝4， ∴d4d＝4，即5d＝4， 解得d． ∴an（n﹣1）， 令an＝33， 即33， 解得n＝50． 故选：C． 5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2＝60°， ∴tan∠OMF2，即cb， ∴ab， ∴e． 故选：B． 6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1， 当x0＞0时，则x0＞1， 故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 故选：D． 7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（　　） A．lg2 B．lg32 C． D． 【解答】解：令x5＝2， ∴得x， ∵f（x5）＝lgx， ∴f（2）＝lglg2． 故选：D． 8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（　　） A．0 B． C． D．π 【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sinx为奇函数不满足题意，排除A； 当φ时，y＝sin（x+φ）＝sin（x）为非奇非偶函数，排除B； 当φ时，y＝sin（x+φ）＝cosx，为偶函数，满足条件． 当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，为奇函数， 故选：C． 9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由点到直线的距离公式得：， ∵a＞0， ∴a． 故选：C． 10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（　　） A．2πR2 B． C． D． 【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得， 所以圆柱的全面积为：s＝2． 故选：B． 11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：由于若P4与P0重合， 故P2、P3也都是所在边的中点， 因为ABCD是长方形， 根据对称性可知P0P1的斜率是， 则tgθ． 故选：C． 12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　） A．3π B．4π C．3 D．6π 【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论： （1）一个正方体可以内接一个正四面体； （2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径． 则球的半径R， ∴球的表面积为3π， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）不等式的解集是　（2，4]　． 【解答】解：∵x0， ∴x＞0， ∵不等式，两边平方得， 4x﹣x2＜x2， ∴2x2﹣4x＞0， 解得，x＞2，x＜0（舍去）， ∵4x﹣x2≥0， ∴0≤x≤4， ∴综上得：不等式的解集为：（2，4]， 故答案为（2，4]． 14．（4分）在的展开式中，x3的系数是　　（用数字作答） 【解答】解：根据题意，对于， 有Tr+1＝C99﹣r•x9﹣r•（）r＝（）r•C99﹣r•x9﹣2r， 令9﹣2r＝3，可得r＝3， 当r＝3时，有T4x3， 故答案． 15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2　．” 【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2． 故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2． 16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　72　种．（以数字作答） 【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种 4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种 所以不同的着色方法共有72种． 故答案为：72 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点． （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离． 【解答】解：（1）取BD中点M． 连接MC，FM． ∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FMD1D． 又ECCC1且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1． ∴EF⊥面DBD1． ∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1． 故EF为BD1与CC1的公垂线． （Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE． 由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1， 设点D1到面BDE的距离为d． 则． ∵AA1＝2，AB＝1． ∴，， ∴． ∴ 故点D1到平面DBE的距离为． 18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|． 【解答】解：设z＝（rcos60°+rsin60°i）， 则复数z的实部为． 由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|， 即：（z﹣1）（1）＝|z| ∴r2﹣r+1＝r， 整理得r2+2r﹣1＝0． 解得r1， r1（舍去）． 即|z|1． 19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）证明． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1， ∴a2＝3+1＝4， ∴a3＝32+4＝13； （Ⅱ）证明：由已知an﹣an﹣1＝3n﹣1，n≥2 故an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 ．n≥2 当n＝1时，也满足上式． 所以． 20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函数f（x）的最小正周期和最大值； （2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象． 【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x 所以函数的最小正周期为π，最大值为； （2）由（1）列表得： x y 1 1 1 1 1 故函数y＝f（x）在区间上的图象是： 21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向． 在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为 令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2， 其中r（t）＝10t+60， 若在t时，该城市受到台风的侵袭， 则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2， 即， 即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24． 答：12小时后该城市开始受到台风侵袭． 22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程， 据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值． 按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a） 设k（0≤k≤1）， 由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）． 直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y＝0，① 直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝0． ② 从①，②消去参数k， 得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0， 整理得． 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点； 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长； 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值； 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/8/13 16:20:20；用户：黄熠；邮箱：huangyi12388@；学号：716378