2006年重庆高考文科数学真题及答案.doc

2006年重庆高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率： 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合，，，则 （A） （B） （C） （D） （2）在等差数列中，若且，的值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （3）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为 （A） （B） （C） （D） （4）若是平面外一点，则下列命题正确的是 （A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直 （C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行 （5）的展开式中的系数为 （A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160 （6）设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过 （A） （B） （C） （D） （7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 （A）2 （B）3 （C）5 （D）13 （8）已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为 （A） （B）或 （C） （D）或 （9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 （10）若，,，则的值等于 （A） （B） （C） （D） （11）设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的 （A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 （12）若且，则的最小值是 （A） （B）3 （C）2 （D） 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）已知，，则 。 （14）在数列中，若，，则该数列的通项 。 （15）设，函数有最小值，则不等式的解集为 。 （16）已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。 三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； （18）（本小题满分13分） 设函数（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值； （19）（本小题满分12分） 设函数的图像与直线相切于点。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性。 （20）（本小题满分12分） 如图，在增四棱柱中，，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求： （Ⅰ）异面直线与所成角的大小； （Ⅱ）二面角的正切值； （21）（本小题满分12分） 已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （22）（本小题满分12分） 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。 （Ⅰ）试证：； （Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：； 2006年重庆高考文科数学真题参考答案 一．选择题 1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.B 11.A 12.A 二．填空题 (13) -2 (14) 2n – 1 (15) 三．解答题 （17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为： （Ⅱ）这是n=3，p= 的独立重复试验，故所求概率为： （18）（本小题满分13分）设函数 （其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值； 解：（I） 　　　　 依题意得 ． 　（II）由（I）知，．又当时， 　　　　，故，从而在区间 上的最小值为，故 （19）（本小题满分12分） 设函数的图像与直线相切于点。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性。 解：（Ⅰ）求导得。 由于 的图像与直线相切于点， 所以，即： 1-3a+3b = -11 解得: ． 3-6a+3b=-12 （Ⅱ）由得： 令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. 故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数， 但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数. （20）（本小题满分12分） 如图，在正四棱柱中， ，为上使的点。 平面交于，交的延长线于，求： （Ⅰ）异面直线与所成角的大小； （Ⅱ）二面角的正切值； 解法一：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图1） 连接．因为ＡＥ和分别是平行平面， 所以AE//,由此得 （Ⅱ）作于H,由三垂线定理知 即二面角的平面角. . 从而. 解法二：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图2） 因为和AF是平行平面， 所以,由此得 （Ⅱ）为钝角。 作的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知 的平面角. . 从而. 解法三：（Ⅰ）以为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，于是， 因为和AF是平行平面 ，所以．设Ｇ（0,y,0）,则 ,于是. 故.设异面直线与所成的角的大小为,则: ,从而 （Ⅱ）作 H,由三垂线定理知的平面角. 设H（a,b,0）,则:.由得: ……① 又由,于是 ……② 联立①②得:, 由 得: . （21）（本小题满分12分） 已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立， 求的取值范围； 解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得： ．即对一切有：， 从而判别式 　　　　　解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得： 　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　即　：， 　　　　　　　　　整理得　 上式对一切均成立，从而判别式 （22）（本小题满分12分） 如图，对每个正整数，是抛物线上的点， 过焦点的直线交抛物线于另一点。 （Ⅰ）试证：； （Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：； 　　证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为 将它与抛物线方程联立得: ,由一元二次方程根与系数的关系得． （Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处 的切线的斜率故在处的切线的方程为： 　　　　　　　　　，……① 　　　类似地，可求得在处的切线的方程为： 　　　　　　　　　，……② 　　　由②－①得：， 　　　　……③ 　　将③代入①并注意得交点的坐标为． 　　由两点间的距离公式得： 　　　． 现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：