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2006年湖南高考理科数学真题及答案 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数的定义域是 A． B． C． D． 2. 若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则 A． B． C． D． 3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有 A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 4. “”是“函数在区间上为增函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是 A． B． C． D． 6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有 A． 16种 B．36种 C．42种 D．60种 7. 过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 8. 设函数, 集合, 若, 则实数的取值范围是 A． B． C． D． 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1, 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A． B． C． D． 10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的 距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 注意事项： 请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 11. 若的展开式中的系数是, 则实数的值是__________. 12. 已知 则的最小值是_____________. 13. 曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是 ___________. 14. 若是偶函数, 则有序实数对可以 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 15. 如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且,则的取值范围是__________; 当时, 的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分） 如图3, 是直角斜边上一点, . (Ⅰ)证明: ; (Ⅱ)若,求的值. 17. （本小题满分12分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是, 整改后安检合格的概率是, 计算(结果精确到); (Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 . 18. （本小题满分14分） 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, (Ⅰ) 证明: ; (Ⅱ) 求异面直线所成的角; (Ⅲ) 求点到平面的距离. 19．（本小题满分14分） 已知函数, 数列满足: , 证明 (Ⅰ) ; (Ⅱ) . 20．（本小题满分14分） 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21．（本小题满分14分） 已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦 过椭圆的右焦点 . (Ⅰ) 当, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上; (Ⅱ) 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由 . 2006年湖南高考理科数学真题参考答案 1—10 DADAB DACCB 1. 2. 5 3. 4. 15. ， 1．函数的定义域是，解得x≥4，选D. 2．数列满足: , 且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A. 3．如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有12条，选D. 4．若“”，则函数=在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则0≤a≤1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A. 5． 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，选B. 6．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有种方案，共计有60种方案，选D. 7．过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选A. 8．设函数, 集合，若a>1时，M={x| 1<x<a}；若a<1时M={x| a<x<1}，a=1时，M=；，∴=>0，∴ a>1时，P=R，a<1时，P=； 已知,所以选C. 9．棱长为2的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，选C. 10．圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ∴ ，∴ ，∴ ，，∴ ，直线的倾斜角的取值范围是，选B. 二．填空题： 11． 12．5 13． 14． 15．， 11．的展开式中的系数=x3， 则实数的值是－2. 12．已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5. 13．曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是. 14．ab≠0，是偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1. 15．如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，∴ 的取值范围是(－∞，0)； 当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，∴ 的取值范围是(，). 三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）B D C α β A 图3 如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD, 记∠CAD=,∠ABC=. (1)．证明 ; （2）．若AC=DC,求的值. 解：(1)．如图3，， 　　即． （2）．在中，由正弦定理得 　　　　由(1)得， 　　　　即． 　　　　 17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 . （Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是 E＝，即平均有2.50家煤矿必须整改. (Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是 18. （本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1 和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. Q B C P A D z y x O Q P A D C B 图112 4 444 解法一：　（Ⅰ）．连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD 都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD. （II）由题设知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，， 所以,,于是 从而异面直线AQ与PB所成的角是. (Ⅲ)．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），， ，设是平面QAD的一个法向量， 由 得. Q B C P A D O M 取x=1，得.　　所以点P到平面QAD的距离. 解法二：　（Ⅰ）．取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD 都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM. 又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）．连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在 PQ上，从而P、A、Q、C四点共面. 取OC的中点N，连结PN． 因为，所以， 从而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其补角）是异面直线AQ 与PB所成的角.连接BN， 因为． 所以． 从而异面直线AQ与PB所成的角是． (Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ 于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的长为点P到平面QAD的距离． 连结OM，则.所以， 又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是. 即点P到平面QAD的距离是. 19. （本小题满分14分）已知函数, 数列{}满足: 证明: （I）．;　　　 （II）．. 证明: （I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,… (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时 ,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续, 从而.故n=k+1时,结论成立. 由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立. 又因为时，， 所以，综上所述． （II）．设函数，．由（I）知，当时，， 　　　从而 所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0, 所以当时，g (x)>0成立.于是． 　　　　　　　故． 20. （本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3. 因为当,故方案乙的用水量较少. （II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得 ，（*） 于是+ 当为定值时,, 当且仅当时等号成立.此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是. 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量. 21. （本小题满分14分）已知椭圆C1:,抛物线C2:, 且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点. (Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； (Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在， 求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： 　　 x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上. 所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. （II）解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB的方程为． A y B O x 由消去得………………① 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝. 　　由　 消去y得. ………………② 因为C2的焦点在直线上， 所以，即.代入②有. 即. 　　 …………………③ 由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝. 从而＝. 解得　　　……………………④ 又AB过C1、、＼、、C2的焦点，所以 ， 则 …………………………………⑤ 由④、⑤式得，即． 解得于是 因为C2的焦点在直线上，所以. 　或． 由上知，满足条件的、存在，且或，． 解法二： 设A、B的坐标分别为，． 　　　　因为AB既过C1的右焦点，又过C2的焦点， 所以. 即. 　 ……① 由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……② 且直线AB的方程是, 所以. ……③ 又因为，所以. ……④ 将①、②、③代入④得．　　……………⑤ 　　因为，所以．　　…………⑥ 将②、③代入⑥得　　……………⑦ 由⑤、⑦得即 解得．将代入⑤得 　　　或． 由上知，满足条件的、存在，且或，