2001年湖南高考理科数学真题及答案.doc

2001年湖南高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 注意事项： 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧 其中c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长 台体的体积公式 V台体 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若siniθcosθ＞0，则θ在 ( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 ( ) A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4 3．设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A．1 B．2 C．4 D．6 4．若定义在区间(－1，0)的函数满足，则a的取值范围是 ( ) A．() B． C．(，＋∞) D．(0，＋∞) 5．极坐标方程的图形是 ( ) 6．函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 ( ) A．y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) B．y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) C．y = arc cos (x－1)(0≤x≤2) D．y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2) 7． 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0)， F2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A． B． C． D． 8． 若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则 ( ) A．a＜b B．a＞b C．ab＜1 D．ab＞2 9． 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若，则AB1 与C1B所成的角的大小为 ( ) A．60° B．90° C．105° D．75° 10．设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题： ① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增； ② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增； ③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减； ④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3． 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A．P3＞P2＞P1 B．P3＞P2 = P1 C．P3 = P2＞P1 D．P3 = P2 = P1 12． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A．26 B．24 C．20 D．19 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 注意事项： 1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 14．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 15．设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则 q = 16．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，． (Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积； (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分) 已知复数z1 = i (1－i) 3． (Ⅰ)求arg z1及； (Ⅱ)当复数z满足=1，求的最大值． 19． (本小题满分12分) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O． 20． (本小题满分12分) 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n． (Ⅰ)证明； (Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． 21． (本小题满分12分) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加． (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 22． (本小题满分14分) 设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，]都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0． (Ⅰ)求f () 及f ()； (Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； (Ⅲ)记an = f (2n＋)，求． 参考答案： 说明： 一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （13）2π （14） （15）1 （16）2n (n－1) 三．解答题： （17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是 M底面， ……2分 ∴ 四棱锥S—ABCD的体积是 M底面 ． ……4分 （Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱． ……6分 ∵ AD∥BC，BC = 2AD， ∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB， ∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线， 又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， ∴ CS⊥SE， 所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ ，BC =1，BC⊥SB， ∴ tan∠BSC ． 即所求二面角的正切值为． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i， 将z1化为三角形式，得 ， ∴ ，． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则 z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i， ()， ……9分 当sin() = 1时，取得最大值． 从而得到的最大值为． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (，0)，所以经过点F的直线的方程可设为 ； ……4分 代入抛物线方程得 y2 －2pmy－p2 = 0， 若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2 = －p2． ……8分 因为BC∥x轴，且点c在准线x = －上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO的斜率为 ． 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． ……12分 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交于点N，则 ， ……6分 根据抛物线的几何性质，， ， ……8分 ∴ ， 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分． （Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有 = m·…·(m－i＋1)， …， 同理 …， ……4分 由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有， 所以 ，即． ……6分 （Ⅱ）证明由二项式定理有 ， ， ……8分 由 (Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n＝， 而 ，， ……10分 所以， (1＜i≤m＜n＝． 因此，． 又 ，，． ∴ ． 即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，……，第n年投入为800×（1－）n－1万元． 所以，n年内的总投入为 an = 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）n－1 = 4000×[1－()n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋）n－1万元． 所以，n年内的旅游业总收入为 bn = 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）n－1 = 1600×[ ()n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn－an＞0， 即 1600×[（）n －1]－4000×[1－（）n]＞0． 化简得 5×（）n＋2×（）n －7＞0， ……9分 设（）n，代入上式得 5x2－7x＋2＞0， 解此不等式，得 ，x＞1(舍去)． 即 （）n＜， 由此得 n≥5． 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分． （Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)，所以 f () · f ()≥0，x∈[0，1]． ∵ f () = f () · f () = [f ()]2， f ()f () = f () · f () = [f ()]2． ……3分 ， ∴ f ()，f ()． ……6分 （Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称， 故 f (x) = f (1＋1－x)， 即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8分 又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R， ∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R， 将上式中－x以x代换，得 f (x) = f (x＋2)，x∈R． 这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]． ∵ f ()= f (n ·) = f (＋（n－1）·) = f () · f (（n－1）·) = f () · f () · … ·f () = [ f ()]n， f () = ， ∴ f () = ． ∵ f (x)的一个周期是2， ∴ f (2n＋) = f ()，因此an = ， ……12分 ∴ () = 0． ……14分