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2004年湖北高考理科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）与直线的平行的抛物线的切线方程是　　 A． B． C． D． 2．（5分）复数的值是　　 A． B．16 C． D． 3．（5分）已知，则的解析式为　　 A． B． C． D． 4．（5分）已知为非零的平面向量．甲：，乙：，则　　 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（5分）若，则下列不等式 ①； ②； ③； ④中，正确的不等式有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上．若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为　　 A． B．3 C． D． 7．（5分）函数在，上的最大值与最小值的和为，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 8．（5分）已知数列的前项和，其中、是非零常数，则存在数列、使得　　 A．，其中为等差数列，为等比数列 B．，其中和都为等差数列 C．，其中为等差数列，都为等比数列 D．，其中和都为等比数列 9．（5分）函数有极值的充要条件是　　 A． B． C． D． 10．（5分）设集合，对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是　　 A． B． C． D． 11．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行； ②与是异面直线； ③与成角； ④与垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是　　 A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 12．（5分）设是某港口水的深度（米关于时间（时的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经观察，可以近似看成的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）设随机变量的概率分布为　 　． 14．（4分）将标号为1，2，，10的10个球放入标号为1，2，，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有　 　种．（以数字作答） 15．（4分）设、为两个集合．下列四个命题： ①对任意，有； ②； ③； ④存在，使得． 其中真命题的序号是　 　．（把符合要求的命题序号都填上） 16．（4分）某日中午12时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是　 　． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知，，，求的值． 18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点． 试确定点的位置，使得平面； 当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 19．（12分）如图，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 20．（12分）直线与双曲线的右支交于不同的两点、． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21．（12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值． 22．（14分）已知． 已知数列极限存在且大于零，求（将用表示）； 设； 若都成立，求的取值范围． 2004年湖北省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）与直线的平行的抛物线的切线方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可设切线方程为 联立方程组得 △解得， 切线方程为， 故选：． 2．（5分）复数的值是　　 A． B．16 C． D． 【解答】解：复数 故选：． 3．（5分）已知，则的解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：令， 得， ， ． 故选：． 4．（5分）已知为非零的平面向量．甲：，乙：，则　　 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解答】解：命题甲：（舍去）或或． 命题乙：，因而乙甲，但甲乙． 故甲是乙的必要条件但不是充分条件． 故选：． 5．（5分）若，则下列不等式 ①； ②； ③； ④中，正确的不等式有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：，，，故①正确． ，则，故②错误． ③显然错误． 由于，，，故④正确． 综上，①④正确，②③错误， 故选：． 6．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上．若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为　　 A． B．3 C． D． 【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为． 由于，， ， 只能或． 令得 ， ． 即到轴的距离为， 故选：． 7．（5分）函数在，上的最大值与最小值的和为，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 【解答】解：是，上的增函数或减函数， 故（1），即， ． 故选：． 8．（5分）已知数列的前项和，其中、是非零常数，则存在数列、使得　　 A．，其中为等差数列，为等比数列 B．，其中和都为等差数列 C．，其中为等差数列，都为等比数列 D．，其中和都为等比数列 【解答】解：当时，，当时， ， 故选：． 9．（5分）函数有极值的充要条件是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，函数是单调增函数无极值，故排除， 当时，函数是单调增函数无极值，故排除， 故选：． 10．（5分）设集合，对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对任意实数恒成立， 对分类：①时，恒成立； ②时，需△，解得． 综合①②知，． ， 故选：． 11．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行； ②与是异面直线； ③与成角； ④与垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是　　 A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【解答】解：由题意画出正方体的图形如图： 显然①②不正确；③与成角，即 正确；④平面，所以④正确； 故选：． 12．（5分）设是某港口水的深度（米关于时间（时的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经观察，可以近似看成的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】解：排除法： 可以近似看成的图象， 由可排除、， 将代入 排除． 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）设随机变量的概率分布为　4　． 【解答】解：由题意知根据所有的概率和为 把提出 括号中为无穷等比数列，根据无穷等比递缩数列的求和公式得到 故答案为：4 14．（4分）将标号为1，2，，10的10个球放入标号为1，2，，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有　240　种．（以数字作答） 【解答】解：由分步计数原理知 从10个盒中挑3个与球标号不一致，共种挑法， 每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种， 共有种． 故答案为：240． 15．（4分）设、为两个集合．下列四个命题： ①对任意，有； ②； ③； ④存在，使得． 其中真命题的序号是　④　．（把符合要求的命题序号都填上） 【解答】解：如下图所示： 存在，有 结合图象可得①错误；②错误；④正确． 对③判断如下图所示． 与不存在必然的关系，故③错误． 故答案为：④ 16．（4分）某日中午12时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是　　． 【解答】解：甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，当日12时30分时，甲船没有到达处，故甲乙两船之间的距离函数是 当日12时30分时，， 此时两船之间距间对时间的变化率是 故答案为：． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知，，，求的值． 【解答】解：， ， ， ，， ， ，， ． 18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点． 试确定点的位置，使得平面； 当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【解答】解法一：连接，则是在面；内的射影 ，， 于是平面． 连接，则是在底面内的射影． ． 是正方形，是的中点． 当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面．（6分） 当平面时，由知点是的中点． 又已知点是的中点，连接，则．连接， 设与交于点，则，连接，则是 在底面内的射影． ，即是二面角的平面角． 在△中，，， ． ，从而． 故二面角的大小为． 解法二：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设，则，0，，，0，，，1，， ，0，，，0，，，1，，，，1， ，即 于是平面 即．故当点是的中点时，平面 （2）当平面时，是的中点，又是的中点，连接，则． 连接，设与交于点，则．连接，则是在底面内的射影． ，即是二面角的平面角． ， ． ， ， 即． 故二面角的大小为． 19．（12分）如图，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 【解答】解：如下图所示： 解法一：，． ， ． 故当，即与方向相同）时，最大．其最大值为0． 解法二：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设，则，，， 且，． 设点的坐标为，则． ， ． ． ． ． ． 故当， 即与方向相同）时， 最大，其最大值为0． 20．（12分）直线与双曲线的右支交于不同的两点、． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线的方程后，整理得．① 依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故 解得的取值范围是． （Ⅱ）设、两点的坐标分别为，、，，则由①式得② 假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点． 则由得：． 即． 整理得．③ 把②式及代入③式化简得． 解得 可知使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点． 21．（12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值． 【解答】解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为 ，损失期望值为（万元），所以总费用为（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为，损失期望值为（万元），所以总费用为（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为（万元），发生突发事件的概率为，损失期望值为（万元），所以总费用为（万元）． 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少． 22．（14分）已知． 已知数列极限存在且大于零，求（将用表示）； 设； 若都成立，求的取值范围． 【解答】解：由，． ．． ． ． ． ． 当时结论成立（已验证）． 假设当 故只须证明． ， ，． ． ． 即时结论成立． 根据和可知结论对一切正整数都成立． 故． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:08:08；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156