2007年重庆高考文科数学真题及答案.doc

2007年重庆高考文科数学真题及答案 共5页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，则公比q为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 （2）设全集U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝ （A） （B）{a} （C）{c} （D）{a,c} （3）垂直于同一平面的两条直线 （A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）异面 （4）（2x-1）2展开式中x2的系数为 （A）15 （B）60 （C）120 （D）240 （5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的 （A）充分必要条件 （B）充分但不必要条件 （C）必要但不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）下列各式中，值为的是 （A） （B） （C） （D） （7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 （A） （B） （C） （D） （8）若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为 (A) -或 （B） （C） 或 （D） （9）已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量= （A） （B） （C） （D） （10）设P（3，1）为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则 （A） （B） （C） （D） （11）设的等比中项，则a+3b的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。 （14）已知的最大值为 。 （15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（以数字作答） （16）函数的最小值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立。 （Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。 （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分） 已知函数。 （Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角a在第一象限且 （19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。） 如题（19）图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA2=2;点D在棱BB1上，BD＝BB1；B1E⊥A1D，垂足为E，求： 题（19）图 （Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离； （Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。 20.（本小题满分12分） 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 题（21）图 （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 （22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1，且 （Ⅰ）求｛an｝的通项公式； （Ⅱ）设数列｛bn｝满足并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证： 答案 一、选择题：每小题5分，满分60分。 （1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C （11）B（12）C 二、填空题：每小题4分，满分16分。 （13）（14）9（15）288（16）1+2 三、解答题：满分74分 解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝，从而甲命中但乙未命中目标的概率为 （Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。 依题意有 由独立性知两人命中次数相等的概率为 (18)（本小题13分） 解：（Ⅰ）由 故f(x)的定义域为 （Ⅱ）由已知条件得 从而 ＝ ＝ ＝ （19）（本小题12分） 解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D， 故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线 由知 在Rt△A1B1D中，A2D＝ 又因 故B1E= （Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为 V＝VC-ABDE＝ 其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。 答（19）图1 在Rt△B1ED中，ED= 又因S△B1ED= 故EF= 因△A1AE的边A1A上的高故 S△A1AE＝ 又因为S△A1BD＝从而 S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2- 所以 解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则 答（19）图2 A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0). B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0, ) 因此 设E（，y0，z0），则， 因此 又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。 下面求点E的坐标。 因B1E⊥A1D，即 又 联立（1）、（2）,解得,,即，。 所以. （Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高. 下面求四边形ABDE的面积。 因为SABCD＝SABE+ SADE， 而SABE＝ SBDE＝ 故SABCD＝ 所以 （20）（本小题12分） 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 . 故长方体的体积为 从而 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0， 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 （21）（本小题12分） （Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而 因此焦点的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为。 从而所求准线l的方程为。 答（21）图 （Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 |FA|＝|AC|＝解得， 类似地有，解得。 记直线m与AB的交点为E，则 所以。 故。 解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。 将此式代入,得，故。 记直线m与AB的交点为，则 ， ， 故直线m的方程为. 令y=0,得P的横坐标故 。 从而为定值。 （22）（本小题12分） （Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。 又由an+1＝Sn+1- Sn＝， 得an+1- an-3＝0或an+1＝-an 因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。 因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。 （Ⅱ）证法一：由可解得 ； 从而。 因此。 令,则 。 因，故 . 特别的。从而， 即。 证法二：同证法一求得bn及Tn。 由二项式定理知当c＞0时，不等式 成立。 由此不等式有 ＝。 证法三：同证法一求得bn及Tn。 令An＝，Bn＝，Cn＝。 因，因此。 从而 ＞。