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2007年福建高考文科数学真题及答案 第I卷 （选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则（CUB）等于 A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5} 解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，选C (2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 A.4 B.8 C.16 D.32 解析：a2·a6= a42=16，选C (3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 A.0 B. C. D.1 解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D （4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由|x|<2得-2<x<2,由 x2-x-6<0得-2<x<3，选A （5）函数y=sin(2x+)的图象 A.关于点（，0）对称 B.关于直线x=对称 C.关于点（，0）对称 D.关于直线x=对称 解析：由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A （6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 A.45° B.60° C.90° D.120° 解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B （7）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是 A.（-，1） B.（1，+） C.（-，0）（0，1） D.（-，0）（1，+） 解析：由已知得解得或x>1，选D （8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是 A.若a·b＝0，则a=0或b=0 B.若a=0,则＝0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a-b=a·c，则b=c 解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B (9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.∥，n∥ ∥ B.∥，，m∥n C.m⊥，m⊥nn∥ D.n∥m,n⊥m⊥ 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D (10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0 解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B (11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,则x<0时 A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0 C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0 解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B (12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7” 的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 （13）（x2+）6的展开式中常数项是 .（用数字作答） 解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为 法二：展开后可得常数项为15 （14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是 . 解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7] （15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。 解析：由已知C=2， （16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a; (2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a; (3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c. 则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： . 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在△ABC中，tanA=,tanB=. (I)求角C的大小; (II)若AB边的长为，求BC边的长 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分. 解：（I）∵C＝-(A+B), ∴tanC=-tan(A+B)= 又∵0<C<, ∴C= (II)由且A∈（0，）， 得sinA= ∵ ∴BC＝AB·. （18）（本小题满分12分） 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率; (II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力. 解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1. 依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立. (I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立， ∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063. 答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063. (II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C， 解法一：C＝A1彼此互斥， ∴P（C） ＝ ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 = 0.88. 解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88. 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88. （III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）, “乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2), ∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件. ∴所求的概率为 ＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024. 答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024. （19）（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点. (I)求证：AB1⊥平面A1BD; (II)求二面角A-A1D-B的大小. 本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解法一：（I）取BC中点O，连结AO. ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC. ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1, ∴AO⊥平面BCC1B1, 连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点， ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD. 在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， ∴AB1⊥平面A1BD. (II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD， ∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角. 在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝， 又∵AG＝=, ∴sin∠AFG=, 所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin. 解法二：（I）取BC中点O，连结AO. ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC. ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ∴AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0), ∴ ∵ ∴⊥⊥, ∴AB1⊥平面A1BD. (II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z). ∵n⊥⊥, ∴ ∵ ∴ 令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量. 由（I）知AB1⊥A1BD. ∴为平面A1BD的法向量. cos<n1>===-. ∴二面角A-A1D-B的大小为arccos. (20)（本小题满分12分） 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (I)求f (x)的最小值h(t); (II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围. 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力. 解：（I）∵ （）， ∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）. 当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表： T (0,1) 1 (1,2) g’(t) + 0 - g(t) 递增 极大值1-m 递减 ∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立， 即等价于1-m<0 所以m的取值范围为m>1 （21）（本小题满分12分） 数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*). (I)求数列{an}的通项an; (II)求数列｛nan｝的前n项和T. 本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分. 解：（I）∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn, ∴=3. 又∵S1＝a1=1, ∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*). ∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2), ∴an= (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan. 当n=1时，T1=1; 当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………① 3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………② ①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1 =2+2· =-1+(1-2n)·3n-1 ∴Tn=+(n-)3n-1 (n2). 又∵Tn=a1=1也满足上式， ∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*) (22)（本小题满分14分） 如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且 · （I）求动点P的轨迹C的方程; （II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M. （1）已知的值; (2)求||·||的最小值. )本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得： (x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x. (II)（1）设直线AB的方程为： x=my+1(m≠0). 设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）. 联立方程组,消去x得： y2-4my-4=0, △ =(-4m)2+12>0, 由得： ，整理得： , ∴ = =-2- =0. 解法二：（I）由 ∴·， ∴=0, ∴ 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x. (II)(1)由已知 则：…………① 过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1, 则有：…………② 由①②得： （II）（2）解：由解法一： ·＝（）2|y1-yM||y2-yM| =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2| =(1+m2)|-4+ ×4m+| = =4(2+m2+) 4(2+2)=16. 当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.