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2006年湖北高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则 A．（） B．（） C．（） D．（） 2.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则 A．4 B．2 C．－2 D．－4 3.若的内角满足，则 A. B． C． D． 4．设，则的定义域为 A． B． C． D． 5．在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 6．关于直线与平面，有以下四个命题： ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则； ④若且，则； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 8．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是； ②的充要条件是； ③的充要条件是； ④的充要条件是； 其中真命题的序号是 A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 9．已知平面区域D由以为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 A．－2 B．－1 C．1 D．4 10．关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项： 第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 11．设为实数，且，则 。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0．01） 13．已知直线与圆相切，则的值为 。 14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答） 15．将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 。令，则 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 设函数，其中向量，，，。 （Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期； （Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。 17．（本小题满分13分） 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （Ⅰ）、求数列的通项公式； （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。 （Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为； （Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明尼的结论。 20．（本小题满分10分） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。 （Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？ （Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可共查阅的（部分）标准正态分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 21．（本小题满分14分） 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图） 22．（本小题满分14分） 设是函数的一个极值点。 （Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 2006年湖北高考理科数学真题参考答案 一、选择题: 1--5、BDABC；6--10、DDBCB； 1．解：设＝（x，y），则有解得x＝，y＝，选B 2.解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D 3.解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA>0，又，故选A 4．解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4 故选B 5．解：，当r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C 6．解：用排除法可得选D 7．解：设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得 故选D 8．解：①Û集合A与集合B没有公共元素，正确 ②Û集合A中的元素都是集合B中的元素，正确 ③Û集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误 ④Û集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误 选B 9．解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－，结合可行域可知当直线x＋my＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C 10．解：关于x的方程可化为…………（1） 或（－1<x<1）…………（2） ① 当k＝－2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根 ② 当k＝时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根 ③ 当k＝0时，方程（1）的解为－1，＋1，±，方程（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k＝时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根 选A 二、填空题： 11、4； 12、0.94; 13、8或－18； 14、20； 15、r＋1，1/2。 11．解：， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 12．解：P＝＝0.94 13．解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得 ，所以的值为－18或8。 14．解：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有＝20种不同排法。 14、解法二：考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定；据题意由于丁必需在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件使其与其他四人进行排列共有种排法，在所在的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有种，故满足条件的排法种数共有。 15． … 解：第一个空通过观察可得。 ＝（1＋－1）＋（）＋（＋－）＋（＋－）＋…＋（＋－）＋（＋－） ＝（1＋＋＋…＋）＋（＋＋＋＋…＋）－2（＋＋…＋） ＝〔（1＋＋＋…＋）－（＋＋…＋）〕＋〔（＋＋＋＋…＋） －（＋＋…＋）〕＝1－＋－＝＋－ 所以 部分试题解析： 15、解法二：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而。 三、解答题： 16、点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+). 所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝. （Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z， 于是d＝（，－2），k∈Z. 因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求. 17． 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 18、点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。 解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为 PC∥平面，平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC，所以，OG＝PC＝. 又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP与平面所成的角. 在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝. 所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为. （Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1) 所以 又由知，为平面的一个法向量。 设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。 （Ⅱ）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。 19． 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知， P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为≈526（人）。 （Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则 P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(x)＝1－＝＝0.0951， 即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分。 20．点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故椭圆的方程为 . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）. ∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）. 又点M异于顶点A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得 P（4，）. 从而＝（x0－2，y0），＝（2，）. ∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）. 将代入，化简得·＝（2－x0）. ∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（，）， 依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差 －＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝， 而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上， ∴，即y2＝ 又点M在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得－＝. 从而，点B在以MN为直径的圆内。 21． 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]， 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<. 故a的取值范围是（0，）。