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2000年河南高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 　　　 　 　　　 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 　　　　　　　 　 其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高 一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ） （A）2 　　　　（B）3　　　 （C）4　　　　 （D）5 （2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 （A）　　　（B）　　　 （C）　　　　　（D） （3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 （A）　　　　（B）　　　　 （C）6　　　　　　　 （D） （4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是 （A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ （B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ （C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ （D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ （5）函数y＝－xcosx的部分图象是 （6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超　　　过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。 　　　　　 全月应纳税所得额 税率 　　　　　 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 （A）800～900元　　（B）900～1200元　　（C）1200～1500元　　　（D）1500～2800元 （7）若a>b>1，，则 （A）R<P<Q　　　　 （B）P<Q<R　　　　　（C）Q<P<R　　　　　　 （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （A）　　　　　　　　　　　（B） （C）　　　　　　　　　　　 （D） （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （A）　　　　（B）　　　　　 （C）　　　　　　（D） （10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （A）　　　 （B）　　　　（C）　　　　　（D） （11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （A）2a　　　　　 （B）　　　　　　 （C）4a　　　　　　　 （D） （12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 （A）　　 （B）　　　　 （C）　　　　（D） 第II卷（非选择题共90分） 注意事项： 1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 三 总分 　 17 18 19 20 21 22 分数 　 　 　 　 　 　 　 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 （13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、第三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答） （14）椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________________。 （15）设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3…），则它的通项公式是＝_________。 （16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是__________________。 （要求：把可能的图的序号填上） 三、解答题：本大题共16小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知函数 （I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ （18）（本小题满分12分） 如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且 （I）证明：； （II）假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角α BD β的平面角的余弦值； （III）当的值为多少时，能使？请给出证明。 （19）（本小题满分12分） 设函数，其中a>0。 （I）解不等式f(x)≤1； （II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，＋∞]上是单调函数。 （20）（本小题满分12分） （I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。 （21）（本小题满分12分） 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。 （I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)； （II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天） （22）（本小题满分14分） 如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。 参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 （1）C　　（2）B　　（3）D　　（4）D　　（5）D　　（6）C　　（7）B　　（8）C　　（9）A　　（10）C　 （11）C　 （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 （13）252 　　（14）　　　（15）　　　（16）②③ 三、解答题 （17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。 解：（I） 　　　…………6分 y取得最大值必须且只需即所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为…………………………8分 （II）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象；（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）,得到函数的图象（iv）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象； 综上得到函数的图象。………………12分 （18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。 （I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BC=CD 又 ∵DO=OB ………………………………2分 但AC⊥BD， 又 ………………………………4分 （II）解：由（I）知AC⊥BD， 是二面角α BD β的平面角 在中，BC=2，， …………………………6分 ∵∠OCB=60° 作，垂足为H。 ∴点H是OC的中点，且， 所以。…………………………8分 （III）当时，能使 证明一：∵ 又 由此可推得 ∴三棱锥是正三棱锥。…………………………10分 设相交于G. 又是正三角形的BD边上的高和中线, ∴点G是正三角形的中心。 即。…………………………12分 证明二：由（I）知， 。……………………10分 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形。 同的证法可得 又……………………12分 （19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分数计论的数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。 解：（I）不等式f(x)≤1即，由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a>0 所以，原不等式等价于 即…………………………3分 所以，当0<a<1时，所给不等式的解集为； 当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}…………………………6分 （II）在区间[0，+∞]上任取，使得 …………………………8分 （i）当a≥1时 又 即 所以，当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞]上是单调递减函数。………………10分 （ii）当0<a<1时，在区间[0，+∞]上存在两点，满足，即，所以函数f(x)在区间[0，+∞]上不是单调函数。 综上，当且仅当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞]上是单调函数。………………12分 （20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分。 解：（I）因为是等比数列，故有 将代入上式，得 ……………………3分 即 整理得 解得p=2或p=3。……………………6分 （II）设的公比分别是p=q，p≠q， 为证不是等比数列只需证。 事实上，， 由于p≠q，，又不为零， 因此，故不是等比数列。……………………12分 （21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。 解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 ……………………2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 ……………………4分 （II）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) 即……………………6分 当0≤t≤200时，配方整理得 所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理得 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5。………………10分 综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。…………………12分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。 解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称。………………2分 依题意，记A（-c，0），，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点坐标公式得 。 设双曲线的方程为，则离心率。 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ① ②……………………7分 由①式得 ③ 将③式代入②式，整理得 故。……………………10分 由题设得， 解得 所以双曲线的离心率的取值范围为。……………………14分