2007年河南高考文科数学真题及答案.doc

2007年河南高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 （1）设，，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （2）是第四象限角，，（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （3）已知向量，，则与（　　） Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向 （4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （5）甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（　　） Ａ．种 Ｂ．种 Ｃ．种 Ｄ．种 （6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件 （10）函数的一个单调增区间是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （12）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____． （14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则____________． （15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________． （16）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若，，求b． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元． （Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分） S C D A B 四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． （20）（本小题满分12分） 设函数在及时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． （21）（本小题满分12分） 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， （Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和． （22）（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P． （Ⅰ）设P点的坐标为，证明：； （Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． 参考答案 一、选择题 1．Ｄ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ｄ　　9．Ｂ 10．Ｄ　　11．Ａ　　12．Ｃ 二、填空题 13．　　14．　　15．　　16． 三、解答题 17．解： （Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以， 由为锐角三角形得． （Ⅱ）根据余弦定理，得． 所以，． 18．解： （Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”． ， ． （Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”． 表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”． 表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”． 则． ，． ． 19．解法一： （1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面． 因为，所以， 又，故为等腰直角三角形，， D B C A S E 由三垂线定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 依题设， 故，由， ， ． 又，作，垂足为， 则平面，连结．为直线与平面所成的角． 所以，直线与平面所成的角为． 解法二： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面． 因为，所以． 又，为等腰直角三角形，． 如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系， D B C A S 因为， ， 又，所以， ，． ，， ，，所以． （Ⅱ），. 与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余． ，， 所以，直线与平面所成的角为． 20．解： （Ⅰ）， 因为函数在及取得极值，则有，． 即 解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 当时，； 当时，； 当时，． 所以，当时，取得极大值，又，． 则当时，的最大值为． 因为对于任意的，有恒成立， 所以　， 解得　或， 因此的取值范围为． 21．解： （Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且 解得，． 所以， ． （Ⅱ）． ，① ，② ②－①得， ． 22．证明 （Ⅰ）椭圆的半焦距， 由知点在以线段为直径的圆上， 故， 所以，． （Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得． 设，，则 ，， ； 因为与相交于点，且的斜率为． 所以，． 四边形的面积 ． 当时，上式取等号． （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 综上，四边形的面积的最小值为．