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1995年湖南高考文科数学真题及答案.doc
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1995 湖南 高考 文科 数学 答案
1995年湖南高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题;第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项有符合题目要求的) 1.已知集合I={0,-1,-2,-3,-4},集合M={0,-1,-2,},N={0,-3,-4},则( ) (A) {0} (B) {-3,-4} (C) {-1,-2} (D) 2.函数y=的图像是( ) 3.函数y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是( ) (A) 6π (B) 2π (C) (D) 4.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( ) (A) (B) (C) 2πa2 (D) 3πa2 5.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( ) (A) k1< k2< k3 (B) k3< k1< k2 (C) k3< k2< k1 (D) k1< k3< k2 6.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是( ) (A) y=±3x (B) (C) y= (D) y= 7.使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是( ) (A) (B) (C) (D) [0,π] 8.x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( ) (A) 相离 (B) 外切 (C) 相交 (D) 内切 9.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于( ) (A) (B) - (C) (D) - 10.如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成的角的余弦值是( ) (A) (B) (C) (D) 11.已知y=loga(2-x)是x的增函数,则a的取值范围是( ) (A) (0,2) (B) (0,1) (C) (1,2) (D) (2,+∞) 12.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是( ) (A) -297 (B) -252 (C) 297 (D) 207 13.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题, ①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β 其中正确的两个命题是( ) (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③ 14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn与Tn,若,则等于( ) (A) 1 (B) (C) (D) 15.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A) 24个 (B) 30个 (C) 40个 (D) 60个 第Ⅱ卷(非选择题共85分) 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中的横线上) 16.方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是_____________ 17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成角为,则圆台的体积与球体积之比为____________ 18.函数y=cosx+cos(x+)的最大值是___________ 19.若直线l过抛物线y2=4(x+1)的焦点,并且与x轴垂直,则l被抛物线截得的线段长为______________ 20.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有____________种(用数字作答) 三、解答题(本大题共6小题,共65分:解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 21.(本小题满分7分)解方程3x+2-32-x=80. 22.(本小题满分12分)设复数z=cosθ+isinθ,θ∈(π,2π),求复数z2+z的模和辐角 23.(本小题满分10分)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,证明:. 24.(本小题满分12分)如图,ABCD是圆柱的轴截面,点E在底面的圆周上,AF⊥DE,F是垂足. (1)求证:AF⊥DB (2)如果AB=a,圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π,求点E到截面ABCD的距离. 25.(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为,政府补贴为,根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量Q近似地满足关系: P=1000(x+t-8) (x≥8,t≥0), Q=500(8≤x≤14), 当P=Q时的市场价格为市场平衡价格, (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域: (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少每千克多少元? 26.(本小题满分12分)已知椭圆,直线l:x=12,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 参考答案 一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.C 9.A 10.A 11.B 12.D 13.D 14.C 15.A 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 16.3 17. 18. 19.4 20.144 三、解答题 21.本小题主要考查指数方程的解法及运算能力, 解:设y=3x,则原方程可化为9y2-80y-9=0, 解得:y1=9,y2= 方程3x=无解, 由3x =9得x=2,所以原方程的解为x=2. 22.本小题主要考查复数的有关概念,三角公式及运算能力, 解:z2+z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ+isinθ) =cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ =2coscos+i(2sincos) =2 cos(cos+isin) =-2 cos[cos(-π+)+isin(-π+)] ∵ θ∈(π,2π) ∴ ∈(,π) ∴ -2cos ()>0 所以复数z2+z的模为-2cos,辐角(2k-1)π+(k∈z). 23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力, 证法一:设{an}的公比为q,由题设知a1>0,q>0, (1)当q=1时,Sn=na1,从而 Sn·Sn+2-=na1(n+2)a1-(n+1)2=-<0. (2)当q≠1时,,从而 Sn·Sn+2-==-qn<0. 由(1)和(2)得Sn·Sn+2<. 根据对数函数的单调性,得log0.5(Sn·Sn+2)>log0.5, 即. 证法二:设{an}的公比为q,由题设知a1>0,q>0, ∵ Sn+1= a1+qSn, Sn+2=a1+ qSn+1, ∴ Sn·Sn+2-=Sn (a1+ qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1= a1(Sn-Sn+1)=-a1 an+1<0. 即Sn·Sn+2<. (以下同证法一) 24.本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力. (1)证明:根据圆柱性质,DA⊥平面ABE, ∵ EB平面ABE, ∴ DA⊥EB, ∵ AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上, ∴ AE⊥EB,又AE∩AD=A,故得EB⊥平面DAE, ∵ AF平面DAE, ∴ EB⊥AF, 又AF⊥DE,且EB∩DE=E,故得AF⊥平面DEB, ∵ DB平面DEB, ∴ AF⊥DB. (2)解:设点E到平面ABCD的距离为d,记AD=h,因圆柱轴截面ABCD是矩形,所以AD⊥AB. S△ABD=AB·AD= ∴ VD-ABE=VE-ABD=S△ABD =dah 又V圆柱=a2h 由题设知=3π,即d=. 25.本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法. 解:(1)依题设有1000(x+t-8)=500 化简得5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0, 当判别式△=800-16t2≥0时,可得:X=8-t±. 由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组: ① ② 解不等式组①,得0≤t≤,不等式组②无解,故所求的函数关系式为 x=8-t+ 函数的定义域为[0,] (2)为使x≤10,应有8-t+≤10, 化简得:t2+4t-5≥0, 解得t≥1或t≤-5,由于t≥0知t≥1,从而政府补贴至少为每千克1元. 26.本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力. 解:设点P、Q、R的坐标分别为(12,yp),(x,y),(xR,yR由题设知xR>0,x>0, 由点R在椭圆上及点O、Q、R共线,得方程组 解得 ① ② 由点O、Q、P共线,得,即yp=. ③ 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2得 将①、②、③式代入上式,整理得点Q的轨迹方程 (x-1)2+=1 (x>0) 所以点Q的轨迹是以(1,0)为中心,长、短半轴长分别为1和,且长轴在x轴上的椭圆、去掉坐标圆点.

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