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2007年江西高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 第Ⅰ卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答．若在试题卷上作答，答案无效． 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P（A＋B）＝P（A）＋P（B） S＝4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P（A·B）＝P（A）·P（B） 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 Pn(k)＝CP (1一P) 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简的结果是 A．2＋i B．－2＋i C．2－i D．－2－i 2． A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在 3．若，则cot α等于 A．－2 B． C． D．2 4．已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于 A．4 B．5 C．6 D．7 5．若0＜x＜，则下列命题中正确的是 A．sin x＜ B．sin x＞ C．sin x＜ D．sin x＞ 6．若集合且}，则N中元素的个数为 A．9 B．6 C．4 D．2 7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂 足为点H．则以下命题中，错误的命题是 A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45° 8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是 A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 9．设椭圆的离心率为e＝,右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1,x2) A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上 C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能 10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A． B． C． D． 11．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为 A．－ B．0 C． D．5 12．设在(0，＋∞)内单调递增，，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13.设函数y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为 ． 14.已知数列{an}对于任意p，q ∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=，则a36＝ ． 15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点M、N,若,则m+n的值 为 ． 16.设有一组圆．下列四个 命题： A．存在一条定直线与所有的圆均相切 B．存在一条定直线与所有的圆均相交 C．存在一条定直线与所有的圆均不相交 D．所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数在区间(0，1)内连续,且． （1）求实数k和c的值； （2）解不等式 18．（本小题满分12分） 如图,函数的 图象与y轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜 率为一2． （1）求θ和ω的值； （2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值． 19．（本小题满分12分） 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分） 右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到 的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°， AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3． （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （2）求二面角B—AC—A1的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分） 设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2， ∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ． （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； （2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两 点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点 O为坐标原点． 22．（本小题满分14分） 设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何 n∈N*，有． （1）求a1，a3； （2）求数列{ an }的通项an ． 参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（1）因为，所以， 由，即，． 又因为在处连续， 所以，即． （2）由（1）得： 由得，当时，解得． 当时，解得， 所以的解集为． 18．解：（1）将，代入函数得， 因为，所以． 又因为，，，所以， 因此． （2）因为点，是的中点，， 所以点的坐标为． 又因为点在的图象上，所以． 因为，所以， 从而得或． 即或． 19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， （1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 ． （2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以， 故． 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则 ， 所以， ， ， ． 于是，． 20．解法一： （1）证明：作交于，连． 则． 因为是的中点， 所以． 则是平行四边形，因此有． 平面且平面， 则面． （2）如图，过作截面面，分别交，于，． 作于，连． 因为面，所以，则平面． 又因为，，． 所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故， 即：所求二面角的大小为． （3）因为，所以 所求几何体体积为 ． 解法二： （1）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，因为是的中点，所以， ． 易知，是平面的一个法向量． 因为，平面，所以平面． （2），， 设是平面的一个法向量，则 则得： 取，． 显然，为平面的一个法向量． 则, 结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角的大小是． （3）同解法一． 21．解法一：（1）在中，，即， ，即（常数）， 点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线． 方程为：． （2）设， ①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上． 即，因为，所以． ②当不垂直于轴时，设的方程为． 由得：， 由题意知：， 所以，． 于是：． 因为，且在双曲线右支上，所以 ． 由①②知，． 解法二：（1）同解法一 （2）设，，的中点为． ①当时，， 因为，所以； ②当时，． 又．所以； 由得，由第二定义得 ． 所以． 于是由得 因为，所以，又， 解得：．由①②知． 22．解：（1）据条件得 ① 当时，由，即有， 解得．因为为正整数，故． 当时，由， 解得，所以． （2）方法一：由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明． 1当，时，由（1）知均成立； 2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以． ，所以． 又，所以． 故，即时，成立． 由1，2知，对任意，． （2）方法二： 由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明． 1当，时，由（1）知均成立； 2假设成立，则，则时 由①得 即　　　　　 　② 由②左式，得，即，因为两端为整数， 则．于是　　　　③ 又由②右式，． 则． 因为两端为正整数，则， 所以． 又因时，为正整数，则　　　　④ 据③④，即时，成立． 由1，2知，对任意，．