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1997年江西高考文科数学真题及答案.doc
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1997 江西 高考 文科 数学 答案
1997年江西高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 (1) 设集合M={x|0≤x<2},集合N={x|x2-2x-3<0},集合M∩N= ( ) (A) {x|0≤x<1} (B) {x|0≤x<2} (C) {x|0≤x≤1} (D) {x|0≤x≤2} (2) 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( ) (A) -3 (B) -6 (C) - (D) (3) 函数y=tg在一个周期内的图像是 ( ) (4) 已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 函数y=sin(-2x)+sin2x的最小正周期是 ( ) (A) (B)π (C) 2π (D) 4π (6) 满足tg a≥ctg a的角a的一个取值区间是 ( ) (A) (B) (C) (D) (7) 设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于 ( ) (A) 直线y=0对称 (B) 直线x=0对称 (C) 直线y=1对称 (D) 直线x=1对称 (8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是 ( ) (A) 20π (B) 25π (C) 50π (D) 200π (9) 如果直线l将圆:x2+y2-2x-4y=0平分,且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是 ( ) (A) [0,2] (B) [0,1] (C) [0,] (D) (10) 函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 0 (C) - (D) 6 (11) 椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) (12) 圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D) (13) 定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间的图像与f(x)的图像重合.设a>b>0,给出下列不等式 ( ) ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);② f(b)-f(-a) < g(a)-g(-b); ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④ f(a)-f(-b)<g(b)-g(a). (A) ①与④ (B) ②与③ (C) ①与③ (D) ②与④ (14) 不等式组的解集是 ( ) (A) {x|0<x<2} (B) {x|0<x<2.5} (C) {x|0<x<} (D) {x|0<x<3} (15) 四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有 ( ) (A) 30种 (B) 33种 (C) 36种 (D) 39种 第Ⅱ卷(非选择题 共85分) 注意事项: 1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. (16)已知的展开式中x3的系数为,常数a的值为___________ (17)已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点,那么线段的中点坐标是_______ (18)的值为__________ (19)已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α; ②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线; ③若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β; ④若lβ,且l⊥α,则α⊥β; ⑤若mα,lβ,且α∥β,则m∥l. 其中正确的命题的序号是___________ (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (20)(本小题满分10分) 已知复数,.求复数的模及辐角主值. (21)(本小题满分11分) 设Sn是等差数列{an}前n项的和.已知与的等比中项为,与的等差中项为1.求等差数列{an}的通项an. (22)(本小题满分12分) 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,且比例系数为b;固定部分为a元. (Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? (23)(本小题满分12分) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1; (Ⅳ)设AA1=2,求三棱锥E-AA1F的体积. (24)(本小题满分12分) 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图像交于C、D两点. (Ⅰ)证明点C、D和原点O在同一条直线上; (Ⅱ)当BC平行于x轴时,求点A的坐标. (25)(本小题满分12分) 已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程. 1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 说明: 一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分.满分65分. (1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. (16)4 (17) (4,2) (18)2- (19)①,④ 注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分. 三、解答题 (20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识,考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力.满分10分. 解法一:将已知复数化为复数三角形式: , 依题意有zω+zω3 =(cos+isin)+(cos+isin) =(cos+cos)+i(sin+sin) =2cos(cos+isin) 故复数zω+zω3的模为,辐角主值为. 解法二:zω+zω3 = zω(1+ω2) =(+i)(+i)(1+i) =(-i+i) =(cos+isin) (21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.满分11分. 解:设等差数列{an}的首项a1=a,公差为d,则通项为 an =a+(n-1)d, 前n项和为 , 依题意有 其中S5≠0. 由此可得 整理得 解方程组得 由此得 an=1; 或 an=4-(n-1) =-n. 经验证知时an=1,S5=5,或时,S5=-4,均适合题意. 故所求等差数列的通项为an=1,或. (22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.满分12分. 解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为 y=a·+bv2·=S(+bv) 故所求函数及其定义域为 y = S(+bv),v∈ (Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数,故有 S(+bv)≥2. 当且仅当,即时上式中等号成立. 若,则当时,全程运输成本y最小. 若,当时,有 S(+bv)-S(+bc)= S[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv). 因为c-v≥0,且a>bc2,故有 a-bcv≥a-bc2>0, 所以S(+bv)≥S(+bc),且仅当v=c时等号成立. 也即当v=c时,全程运输成本y最小. 综上知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为;当时行驶速度应为. (23)本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,考查逻辑推理和空间想象能力.满分12分. 解:(Ⅰ) ∵ AC1是正方体, ∴ AD⊥面DC1. 又D1F面DC1, ∴ AD⊥D1F. (Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG. 因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形, A1G∥D1F. 设A1G与AE相交于点H,∠AHA1是AE与D1F所成的角. 因为E是BB1的中点,所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH, 从而∠AHA1=90º, 也即直线AE与D1F所成的角为直角. (Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A, 所以D1F⊥面AED. 又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. (Ⅳ)∵ 体积, 又FG⊥面ABB1A1,三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2, 面积 =S□=×22=2. ∴=××FG=×2×2= (24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力,满分12分. 解:(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知,x1>1,x2>1.则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2. 因为A、B在过点O的直线上,所以, 点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2). 由于log2x1=-3 log8x1, log2x2==3log8x2 OC的斜率 , OD的斜率 . 由此可知,k1=k2, 即O、C、D在同一条直线上. (Ⅱ)由于BC平行于x轴知 log2x1= log8x2, 即得 log2x1=log2x2, ∴ x2=. 代入x2log8x1=x1log8x2得 log8x1=3x1log8x1. 由于x1>1知log8x1≠0, ∴ =3x1. 考虑x1>1解得x1=. 于是点A的坐标为(,log8). (25)本小题主要考查轨迹的思想,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分. 解:设圆P的圆心为P(a,b),半径为,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90º,知圆P截x轴所得的弦长为.故 r2=2b2 又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有 r2=a2+1. 从而得2b2-a2=1. 又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,所以, 即有 a-2b=±1, 由此有 解方程组得 于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是 (x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2.

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