2004年广东高考数学真题及答案.doc

2004年广东高考数学真题及答案 满分150分 第I卷 参考公式： 三角函数的积化和差公式 函数求导公式 sina cos b = [sin (a + b ) + sin (a－b )] (u±v)’ = u’±v’ cosa sin b = [sin (a + b )－sin (a－b )] (uv)’ = u’v + uv’ cosa cos b = [cos (a + b ) + cos (a－b )] ( )’ = （v ≠ 0） sina sin b = －[cos (a + b )－cos (a－b )] f ’(j (x)) = f ’(u) j ’(x)，其中 u = j (x) 锥体体积公式 球的体积公式 V锥体 = Sh V球体 = pR 3 其中 S 表示底面积，h 表示高 其中R表示球的半径 一. 选择题（共12小题，每题5分，计60分） （1）已知平面向量=（3，1）， =（x，–3），且⊥，则x= （A） –3 （B） –1 （C） 1 （D）3 （2）已知A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x≤6}，则A∩B＝ （A） （B） （C） （D） （3）设函数 在x=2处连续，则a= （A）－ （B）－ （C） （D） （4）的值为 （A）–1 （B）0 （C） （D）1 （5）函数f（x）＝－是 （A）周期为的偶函数 （B）周期为的奇函数 （C）周期为2的偶函数 （D）周期为2的奇函数 （6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728 （7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 （A） （B） （C） （D） （8）若双曲线2x2－y2＝k（k＞0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （A） 6 （B） 8 （C） 1 （D） 4 （9）当0＜x＜时，函数f（x）＝的最小值是 （A） 4 （B） （C）2 （D） （10）变量x、y满足下列条件：，则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 （A）（4.5，3） （B）（3，6） （C）（9，2） （D）（6，4） （11）若，则 （A）＞＞ （B）＞＞ （C） ＞＞ （D） ＞ ＞ y x O （12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（b ，c）， 则直线ax+by+c=0与直线 x–y+1=0的交点在 （A）第四象限 （B）第三象限 （C）第二象限 （D）第一象限 二.填空题（共4小题，每题4分，计16分） （13）某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 （用分数作答） （14）已知复数z与(z +2)2－8i 均是纯虚数，则z = . B A P B’ A’ 图1 B A P B’ A’ C C’ 图2 （15）由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系：＝ . （16）函数（x＞0）的反函数＝ . 三.解答题（共6小题，74分） （17）（12分）已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列. 求α，β，γ的值. A B C D F E A1 B1 C1 D1 （18）（12分）如右下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1. （Ⅰ）求二面角C—DE—C1的正切值; （Ⅱ）求直线EC1与FD1所成的余弦值. （19）（12分）设函数（x＞0）. （Ⅰ）证明: 当0＜a＜b ，且时，ab＞1; （Ⅱ）点P（x0，y0）（0＜x0＜1 ）在曲线上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达）. （20）（12分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上） （21）（12分）设函数，其中常数m为整数. （Ⅰ）当m为何值时，≥0； （Ⅱ）定理: 若函数g（x） 在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x0∈（a，b），使g（x0）=0. 试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）= 0，在[e－ｍ－m ，e2ｍ－m ]内有两个实根. （22）（14分）设直线l与椭圆相交于A、B两点，l又与双曲线x2－y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB.求直线l的方程. 参考答案 一、选择题 CACAB DDAAB DB 二、填空题： （13） （14）－2i (15) (16) 三、解答题 17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列 当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去， 18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是， 设向量与平面C1DE垂直，则有 （II）设EC1与FD1所成角为β，则 19.证明：（I） 故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和 故 （II）0<x<1时， 曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为： ∴切线与x轴、y轴正向的交点为 故所求三角形面积的表达式为： 20．解：如图， 以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心处. 21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0 (II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数. 由所给定理知，存在唯一的 而当整数m>1时， 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的 故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。 22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为 y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为： 依题意有，由 若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 由 故l的方程为 (ii)当b=0时，由(1)得 由 故l的方程为 再讨论l与x轴垂直的情况. 设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 综上所述，故l的方程为、和