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2006年山西高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（　　） A． B． C． D． 2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（　　） A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R 3．（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（　　） A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0） C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0） 4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（　　） A． B．﹣4 C．4 D． 5．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（5分）函数的单调增区间为（　　） A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z C． D． 7．（5分）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D．0 8．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　） A． B． C． D． 9．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　） A．16π B．20π C．24π D．32π 10．（5分）在的展开式中，x4的系数为（　　） A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15 11．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（　　） A． B． C． D．3 12．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（　　） A． B． C． D．20cm2 　 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=　　． 14．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于　　°． 15．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为　　． 16．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 　　种（用数字作答）． 　 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知{an}为等比数列，，求{an}的通项公式． 18．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 19．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为． （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望． 20．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN． （Ⅰ）证明AC⊥NB； （Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值． 21．（12分）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值． 22．（14分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围． 2006年山西高考文科数学真题参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角． 【解答】解：∵向量a、b满足，且， 设与的夹角为θ， 则cosθ==， ∵θ∈【0π】， ∴θ=， 故选C． 　 2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（　　） A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R 【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集． 【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M， 故选：B． 　 3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（　　） A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0） C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0） 【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法． 根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）． 【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称， 所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx， ∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0）， 选D． 　 4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（　　） A． B．﹣4 C．4 D． 【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值． 【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍， ∴m＜0，且双曲线方程为， ∴m=， 故选：A． 　 5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题． 【解答】解：Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=×7=7a4=35， ∴a4=5， 故选D． 　 6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（　　） A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z C． D． 【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围． 【解答】解：函数的单调增区间满足， ∴单调增区间为， 故选C 　 7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D．0 【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果． 【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线， 则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于， 所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于， 故选B． 　 8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案． 【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac， 由c=2a，则b=a， =， 故选B． 　 9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　） A．16π B．20π C．24π D．32π 【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积． 【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2， 正四棱柱的对角线长即球的直径为2， ∴球的半径为，球的表面积是24π， 故选C． 　 10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（　　） A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数 【解答】解：在的展开式中 x4项是=﹣15x4， 故选项为C． 　 11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（　　） A． B． C． D．3 【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值． 【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2）， 该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为， 分析可得，当m=时，取得最小值为， 故选B． 　 12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（　　） A． B． C． D．20cm2 【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案． 【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c， 令p=，则p=10．由海伦公式S= 知S=≤=＜20＜3 由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立， ∴S＜20＜3． 排除C，D． 由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为， 故选B． 　 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=　　． 【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值． 【解答】解：函数．若f（x）为奇函数， 则f（0）=0， 即，a=． 故答案为 　 14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于　60　°． 【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可． 【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12， 所以正四棱锥的高为3， 则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=， ∴二面角等于60°， 故答案为60° 　 15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为　11　． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 【解答】解：，在坐标系中画出图象， 三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7）， 在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11． 故填：11． 　 16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 　2400　种（用数字作答）． 【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法， 其余5人再进行排列，有A55=120种排法， ∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法． 故答案为：2400 　 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）已知{an}为等比数列，，求{an}的通项公式． 【分析】首先设出等比数列的公比为q，表示出a2，a4，利用两者之和为，求出公比q的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a1，最后利用等比数列的通项公式得到即可． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2==，a4=a3q=2q 所以+2q=， 解得q1=，q2=3， 当q1=，a1=18． 所以an=18×（）n﹣1==2×33﹣n． 当q=3时，a1=， 所以an=×3n﹣1=2×3n﹣3． 　 18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值 【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣， 所以有cos=sin． cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin =﹣2（sin﹣）2+ 当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为 故最大值为 　 19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为． （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望． 【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率． （2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望． 【解答】解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2， Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2， 依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=， P（B1）=2××=，所求概率为： P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2） =×+×+×= （Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）． P（ξ=0）=（）3=， P（ξ=1）=C31××（）2=， P（ξ=2）=C32×（）2×=， P（ξ=3）=（）3= ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P ∴数学期望Eξ=3×=． 　 20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN． （Ⅰ）证明AC⊥NB； （Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值． 【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可； （2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可． 【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN． 由已知MN⊥l1，AM=MB=MN， 可知AN=NB且AN⊥NB． 又AN为AC在平面ABN内的射影． ∴AC⊥NB （Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段， 由中垂线的性质可得AN=BN， ∴Rt△CAN≌Rt△CNB， ∴AC=BC，又已知∠ACB=60°， 因此△ABC为正三角形． ∵Rt△ANB≌Rt△CNB， ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心， 连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角． 在Rt△NHB中，cos∠NBH===． 　 21．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值． 【分析】依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2 =（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．由此分类讨论进行求解． 【解答】解：由已知得到P（0，1）或P（0，﹣1） 由于对称性，不妨取P（0，1） 设Q（x，y）是椭圆上的任一点， 则|PQ|=，① 又因为Q在椭圆上， 所以，x2=a2（1﹣y2）， |PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2 =（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．② 因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1， 所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值， 即当﹣1≤＜0时， 在y=时，|PQ|取最大值； 如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解． 即当＜﹣1时，则当y=﹣1时，|PQ|取最大值2． 　 22．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围． 【分析】先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（﹣∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值． 【解答】解：f'（x）=3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判别式△=4a2﹣12a2+12=12﹣8a2． （ⅰ）若△=12﹣8a2=0，即a=±，当x∈（﹣∞，），或x∈（，+∞）时， f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数． 所以a=±． （ⅱ）若△=12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数， 所以a2＞， 即a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞） （ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣＜a＜， 令f'（x）=0， 解得x1=，x2=． 当x∈（﹣∞，x1），或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数； 当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x1≥0且x2≤1． 由x1≥0得a≥，解得1≤a＜ 由x2≤1得≤3﹣a，解得﹣＜a＜，从而a∈[1，） 综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪[1，）， 即a∈（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．