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2000年天津高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）设集合且，，且，则中的元素个数是　　 A．11 B．10 C．16 D．15 2．（4分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则　　 ①； ②； ③不与垂直； ④． 其中的真命题是　　 A．②④ B．③④ C．②③ D．①② 3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是　　 A． B． C．6 D． 4．（4分）已知，那么下列命题成立的是　　 A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第三象限角，则 D．若、是第四象限角，则 5．（4分）函数的部分图象是　　 A． B． C． D． 6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 超过500元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于　　 A．元 B．元 C．元 D．元 7．（4分）若，，，，则　　 A． B． C． D． 8．（4分）已知两条直线，，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是　　 A． B．， C．，， D． 9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是　　 A． B． C． D． 10．（4分）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是　　 A． B． C． D． 11．（4分）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则等于　　 A． B． C． D． 12．（4分）二项式的展开式中系数为有理数的项共有　　 A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 　 　． 14．（5分）椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是　 　． 15．（5分）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是　 　． 16．（5分）如图，、分别是正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是　 　．（要求：把可能的图的序号都填上） 三、解答题（共7小题，满分82分） 17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题． （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 18．（12分）如图，直三棱柱，底面中，，，棱，、分别是、的中点． （1）求的长； （2）求的值； （3）求证． 19．（12分）如图，已知平行六面体的底面上菱形，且， （1）证明：； （2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 20．（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求． 21．（12分）设函数，其中， （1）解不等式； （2）证明：当时，函数在区间，上是单调函数． 22．（12分）用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 23．（12分）如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、 三点，且以、为焦点．求双曲线的离心率． 2000年天津市高考数学试卷（文） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）设集合且，，且，则中的元素个数是　　 A．11 B．10 C．16 D．15 【解答】解：由集合中的条件可得中的元素有：，，，，共10个； 集合中的不等式解得且，所以中的元素有：，，，，，0，1，2，3，4，5共11个 所以中的元素有：，，，，，0，1，2，3，4，5共16个 故选：． 2．（4分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则　　 ①； ②； ③不与垂直； ④． 其中的真命题是　　 A．②④ B．③④ C．②③ D．①② 【解答】解：由于是不共线的向量，因此不一定等于，故①错误； 由于不共线，故构成三角形，因此②正确； 由于，故③中两向量垂直，故③错误； 根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选． 3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是　　 A． B． C．6 D． 【解答】解：设长方体三度为，，， 则． 三式相乘得． 故选：． 4．（4分）已知，那么下列命题成立的是　　 A．若、是第一象限角，则 B．若、是第二象限角，则 C．若、是第三象限角，则 D．若、是第四象限角，则 【解答】解：若、同属于第一象限，则，；故错． 第二象限，则，；故错． 第三象限，则，；故错． 第四象限，则， ．（均假定，．故正确． 故选：． 5．（4分）函数的部分图象是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，则，为奇函数； 又时，此时图象应在轴的下方 故选：． 6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 超过500元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【解答】解：设收入为元，税款为元，则 当时，； 当，时，； 当，时，． 题设， 故． 故选：． 7．（4分）若，，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由平均不等式知． 同理． 故选：． 8．（4分）已知两条直线，，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是　　 A． B．， C．，， D． 【解答】解：直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有 过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，． 的斜率的取值范围是，，，即，，， 故选：． 9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆柱底面积半径为，则高为， 全面积：侧面积 ． 故选：． 10．（4分）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，圆方程为， 圆心为，半径为1， ． 故选：． 11．（4分）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图： 设直线方程是， 则，是方程的两根， ， 其中．同理． 从而． 故选：． 12．（4分）二项式的展开式中系数为有理数的项共有　　 A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 【解答】解：展开式的通项 项的系数为 要使系数为有理数，需是6的倍数 所以，6，12，18，24，30，36，42，48， 故展开式中系数为有理数的项共有9项 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 　　． 【解答】解：含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体， 其中每个个体被抽到的概率相等， 总体中每个个体被抽到的概率是， 故答案为：． 14．（5分）椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是　为：　． 【解答】解：如图， 设，则， 且是钝角 ． 故答案为：． 15．（5分）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是　　． 【解答】解： （另解不合题意舍去）， ，即， 故答案为：． 16．（5分）如图，、分别是正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是　②③　．（要求：把可能的图的序号都填上） 【解答】解：因为正方体是对称的几何体， 所以四边形在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面、面、面上的射影． 四边形在面和面上的射影相同，如图②所示； 四边形在该正方体对角面的内，它在面上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确 故答案为 ②③ 三、解答题（共7小题，满分82分） 17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题． （1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个， 故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个； 试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个， 甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为， 所求概率为． （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， 甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为， 所求概率为． 18．（12分）如图，直三棱柱，底面中，，，棱，、分别是、的中点． （1）求的长； （2）求的值； （3）求证． 【解答】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系． （1）依题意得，1，，，0，， （2分） （2）依题意得，0，，，1，，，0，，，1，． ，，，，（5分） （9分） （3）证明：依题意得，0，，，1，，， ， （12分） 19．（12分）如图，已知平行六面体的底面上菱形，且， （1）证明：； （2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【解答】（1）证明：如图，连接、和交于，连接． 四边形是菱形， ，． 又，， △△， ， ，（3分） 又，， 平面， 又平面， ．（6分） （2）当时，能使平面． ， ， 又， 由此可推得． 三棱锥是正三棱锥．（9分） 设与相交于． ，且， ． 又是正三角形的边上的高和中线， 点是正三角形的中心， 平面， 即平面．（12分） 20．（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求． 【解答】解：设等差数列的公差为，则 ． ，， 即 解得，． ， ， 数列是等差数列，其首项为，公差为， ． 21．（12分）设函数，其中， （1）解不等式； （2）证明：当时，函数在区间，上是单调函数． 【解答】（1）解：不等式即， 由此得，即，其中常数． 所以，原不等式等价于 即（3分） 所以，当时，所给不等式的解集为； 当时，所给不等式的解集为．（6分） （2）证明：在区间，上任取， 使得 ， ， 又， ， 即． 所以，当时，函数在区间，上是单调递减函数．（12分） 22．（12分）用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 【解答】解：设容器底面短边长为，则另一边长为， 高为 由和，得， 设容器的容积为，则有 整理，得，（4分） （6分） 令，有，即， 解得，（不合题意，舍去）．（8分） 从而，在定义域内只有在处使． 由题意，若过小（接近或过大（接近时，值很小（接近， 因此，当时取得最大值，，这时，高为． 答：容器的高为时容积最大，最大容积为．（12分） 23．（12分）如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、 三点，且以、为焦点．求双曲线的离心率． 【解答】解：如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，则轴． 因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．（2分） 依题意，记，，，， 其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高． 由定比分点坐标公式，得点的坐标为，．（5分） 设双曲线的方程为，则离心率． 由点、在双曲线上， 得（10分） 解得，化简可得， 所以，离心率（14分） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/27 23:02:56；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156