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1996
天津
高考
文科
数学
答案
1996年天津高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷(选择题共65分)
注意事项:
1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,集合.则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】显然C正确.
2.当时,在同一坐标系中,函数与的图像
【答案】A
【解析】当时,函数是减函数,且过点;而函数为增函数,且过点.
3.若,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】或,解得
或,即
,所以的取值范围是.
4.复数等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
5.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有
A.720种 B.360种 C.240种 D.120种
【答案】C
【解析】将甲、乙两人捆绑在一起,不同的排法有.
6.已知是第三象限角且,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得,所以
.
7.如果直线与平面满足:和,那么必
有
A.且 B.且 C.且 D.且
【答案】A
【解析】略.
8.当时,函数的
A.最大值是1,最小值是 B.最大值是1,最小值是
C.最大值是2,最小值是 D.最大值是2,最小值是
【答案】D
【解析】因为,由已知.故当
,即时,有最大值是2;当,即时,有最小值是.
9.中心在原点,准线方程为,离心率为的椭圆方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设可得,解得,所以椭圆方程是.
10.圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为,该圆锥的体积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥底面半径为,则,得,则圆锥高为,
圆锥的体积是.
11.椭圆的两个焦点坐标是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】椭圆的标准方程为,而的焦点为,所以的焦点坐标是.
12.将边长为的正方形沿对角线折起,使得,则三棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取的中点,连接,如图所示.
均为等腰直角三角形,,
∴,则面,就是三棱锥的高,所以.
13.等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和为
A.130 B.170 C.210 D.260
【答案】C
【解析】由已知得,则成等差数列,所以
.
14.设双曲线的半焦距为,直线过两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
【答案】A
【解析】直线的方程为,原点到直线的距离为,则
,即,解得或,又,所以
,所以不合题意.
15. 是上的奇函数,,当时,,则 等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
.
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
16.已知点与抛物线的焦点的距离是5,则 .
【答案】4
【解析】由已知得,解得.
17.正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有 个.(用数字作答)
【答案】32
【解析】从7个点中取3个点有种取法,3个点共线的有3种,三角形共有个.
18.的值是 .
【答案】
【解析】∵,∴,
.
19.如图,正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角,则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】
【解析】由于,所以即为异面直线与所成角,设正方形边长为,在中,
,.
三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20.(本小题满分11分)
解不等式.
【解】本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力,满分11分.
(Ⅰ)时,原不等式等价于不等式组: ——2分
解得. ——5分
(Ⅱ)当时,原不等式等价于不等式组: ——7分
解得. 10分
综上,当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为. ——11分
21.(本小题满分12分)
设等比数列的前项和为.若,求数列的公比.
【解】本小题主要考查等比数列的基础知识,逻辑推理能力和运算能力.满分12分.
若,则有.但,
即得,与题设矛盾,故. ——2分
又依题意可得.
整理得.
由得方程., —— 9分
∵ ,∴,∴. ——12分
22.(本小题满分11分)
已知的三个内角满足:,求
的值.
解法一:由题设条件知. ——2分
∵,∴.
将上式化为.
利用和差化积及积化和差公式,上式可化为
. ——6分
将代入上式得
.
将代入上式并整理得
——9分
,
∵,∴.
从而得. ——12分
解法二:由题设条件知.
设,则,可得, ——3分
所以
. ——7分
依题设条件有,
∵,∴.
整理得 ——9分
,
∵,∴.
从而得. ——11分
23.(本小题满分12分)
【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ),如图2.】
如图1,在正三棱柱中,,分别是上的点,且.
(Ⅰ)求证:面面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
(Ⅰ)证明: ①∵,,延长与延长线交于,连结.
∴,
∴.
② .
∴.
③ .
∴.
④ .
∴.
⑤ .
∴面.
(Ⅱ)解:
【解】本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.
(Ⅰ)②∵,∴,∴, ——1分
③∵是等腰三角形,且,
∴,∴, —— 3分
④∵面,∴是在面上的射影,
且, —— 5分
⑤∵,面,面,
∴面面. 7分
(Ⅱ)∵,
在面内作,垂足为..
面面,∴面,
∵,而面,∴三棱柱的高为.——9分
. ——10分
∴. ——12分
24.(本小题满分10分)
某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(粮食单产=,人均粮食占有量=)
【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似计算的方法和能力.满分10分.
设耕地平均每年至多只能减少公顷,又设该地区现有人口为人,粮食单产为吨/公顷.
依题意得不等式.——5分
化简得. ——7分
∵
. —— 9分
∴(公顷).
答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. ——10分
25.(本小题满分12分)
已知是过点的两条互相垂直的直线,且与双曲线各有两个交点,分别为和.
(Ⅰ)求的斜率的取值范围;
(Ⅱ)若恰是双曲线的一个顶点,求的值.
【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.
(Ⅰ)依题设,的斜率都存在,因为过点且与双曲线有两个交点,故方程组 ① ——1分
有两个不同的解.
在方程组①中消去,整理得. ②
若,则方程组①只有一个解,即与双曲线只有一个交点,与题设矛盾,故
,即,方程②的判别式为
.
设的斜率为,因为过点且与双曲线有两个交点,故方程组
③
有两个不同的解.在方程组③中消去,整理得
. ④
同理有.
又因为,所以有. ——4分
于是,与双曲线各有两个交点,等价于
解得 ——6分
∴. ——7分
(Ⅱ)双曲线的顶点为.
取时,有,
解得.从而. ——8分
将代入方程④得. ⑤
记与双曲线的两交点为,则
.
由⑤知.
∴. ——11分
当取时,由双曲线关于轴的对称性,知.
所以过双曲线的一个顶点时,. ——12分