2004年河南高考理科数学真题及答案.doc

2004年河南高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共60分） 球的表面积公式 S=4 其中R表示球的半径， 球的体积公式 V=， 其中R表示球的半径 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。 1．(1－i)2·i= （ ） A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2 2．已知函数 （ ） A．b B．－b C． D．－ 3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （ ） A． B． C． D．4 4．函数的反函数是 （ ） A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1) C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1) 5．的展开式中常数项是 （ ） A．14 B．－14 C．42 D．－42 6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 （ ） A．( I A)∪B=I B．( I A)∪( I B)=I C．A∩( I B)= D．( I A)∪( I B)= I B 7．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P，则= （ ） A． B． C． D．4 8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ） A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于 （ ） A． B． C． D． 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ） A． B． C． D． 12．的最小值为 （ ） A．－ B．－ C．－－ D．+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x+2|≥|x|的解集是 . 14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 . 15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 1, n=1, an= ,n≥2. 16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 求函数的最小正周期、最大值和最小值. 18．（本小题满分12分） 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分） 已知求函数的单调区间. 20．（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分） 设双曲线C：相交于两个不同的点A、B. （I）求双曲线C的离心率e的取值范围： （II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值. 22．（本小题满分14分） 已知数列，且 a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 2004年高考理科数学答案 一、选择题 DBCBABCCBADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x|x≥－1} 14．x2+y2=4 15． 16．①②④ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分. 解： 所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09. P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3 P(ξ=2)= ×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04 于是得到随机变量ξ的概率分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f(x)的导数： （I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0. 所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II）当 由 所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数； （III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0<x<－, 由2x+ax2<0，解得x<0或x>－. 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE. ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB， ∵PA=PD，∴OA=OD， 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD. 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE= ∴PO=PE·sin60°=， 即点P到平面ABCD的距离为. （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA. .连结AG. 又知由此得到： 所以 等于所求二面角的平面角， 于是 所以所求二面角的大小为 . 解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC. ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG. 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=. 在Rt△PEG中，EG=AD=1. 于是tan∠GAE==, 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① 双曲线的离心率 （II）设 由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0， 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, …… a3－a1=3+(－1). 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1) =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)], 由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1], 于是a2k+1= a2k= a2k－1+(－1)k =(－1)k－1－1+(－1)k =(－1)k=1. {an}的通项公式为： 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，