2003年江苏高考数学真题及答案.doc

2003年江苏高考数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 O 阿 O 阿 O 阿 O 阿 (A) (B) (C) (D) 1．如果函数的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为 2．抛物线的准线方程是y=2，则a的值为 （ ） A． B．－ C．8 D．－8 3．已知 （ ） A． B．－ C． D．－ 4．设函数则x0的取值范围是 （ ） A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．函数的反函数为 （ ） A． B． C． D． 7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） A． B． C． D． 8．设曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ） A．[] B． C． D． 9．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 |m－n|= （ ） A．1 B． C． D． 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ） A． B． C． D． 11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A．3π B．4π C． π D．6π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．展开式中x9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜 色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答） 16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD. ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18．（本小题满分12分） 已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值. 19．（本小题满分12分） D E K B C1 A1 B1 A F C G 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. 20．（本小题满分12分） 已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分）已知为正整数. （Ⅰ）设； （Ⅱ）设 22．（本小题满分14分） 设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q1的横坐标为 （）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列 O c y l x Q1 Q2 Q3 a1 a2 a3 r2 r1 （Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）当a=1时，证明 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13． 14．6,30,10 15．120 16．①④ 三、解答题 17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C. （Ⅰ）， 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 解法二：三件产品都合格的概率为 由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 答：至少有两件不合的概率为0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分 解：由 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC， （Ⅱ）连结A1D，有 , 设A1到平面AED的距离为h， 则 解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) （Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) （Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点 （Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为， 所以 （Ⅱ）对函数求导数: ∴ 即对任意 22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （Ⅰ）解：∵ ∴ ∴ ， ∴ （Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴ ∵当 ∴ （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时， 因此 =