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2006年广东高考文科数学真题及答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、函数的定义域是 A. B. C. D. 2、若复数满足方程，则 A. B. C. D. 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 图1 A. B. C. D. 4、如图1所示，是的边上的中点，则向量 A. B. C. D. 5、给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图2 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2 7、函数的反函数的图像与轴交于点（如图2所示），则方程在上的根是 A.4 B.3 C. 2 D.1 8、已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于 图3 A. B. C. 2 D. 4 9、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 A. B. C. D. 10、对于任意的两个实数对和，规定：， 当且仅当；运算“”为： ；运算“”为：，设，若，则 A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 11、________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13、在的展开式中，的系数为________. 图4 … 14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数. (I)求的最小正周期； (II)求的的最大值和最小值； (III)若，求的值. 16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数的分布如下： 7 8 9 10 0 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求的分布列 (III) 求的数学期望. 图5 17、(本题14分)如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,. (I)求二面角的大小； (II)求直线与所成的角. 18、(本题14分)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求 (I)求点的坐标； (II)求动点的轨迹方程. 19、(本题14分)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为. (I)求数列的首项和公比； (II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和； (III)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零. （注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限） 20、(本题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有. (I)设 ，证明： (II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的； (III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式 2006年广东高考文科数学真题参考答案 第一部分 选择题（50分） 1、函数的定义域是 A. B. C. D. 1、解：由，故选B. 2、若复数满足方程，则 A. B. C. D. 2、由，故选D. 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. B. C. D. 3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 4、如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量 A. B. C. D. 4、，故选A. 5、给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 5、①②④正确，故选B. 6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A.5 B.4 C. 3 D.2 6、，故选C. 7、函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是 A. 4 B. 3 C. 2 D.1 7、的根是2，故选C 8、已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D.4 8、依题意可知 ，，故选C. 9、在约束条件下，当时， 目标函数的最大值的变化范围是 A. B. C. D. 9、由交点为， （1） 当时可行域是四边形OABC，此时， （2） 当时可行域是△OA此时， 故选D. 10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运算“”为：，运算“”为：，设，若 则 A. B. C. D. 10、由得, 所以,故选B. 第二部分 非选择题（100分） 二、填空题 11、 11、 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、 13、在的展开式中，的系数为 13、 所以的系数为 14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） . 14、10， 三、解答题 15、（本小题满分14分） 已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的最大值和最小值； （Ⅲ）若，求的值. 15解： （Ⅰ）的最小正周期为; （Ⅱ）的最大值为和最小值； （Ⅲ）因为，即,即 16、（本小题满分12分） 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： X 0-6 7 8 9 10 Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求分布列； (Ⅲ) 求的数学希望. 16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为； (Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10 分布列为 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的数学希望为. 17、（本小题满分14分） 如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角. 17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角B—AD—F的大小为450； (Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0） 所以， 设异面直线BD与EF所成角为，则 直线BD与EF所成的角为 18、（本小题满分14分） 设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标 ； (Ⅱ)动点Q的轨迹方程 18解: (Ⅰ)令解得 当时,, 当时, ,当时, 所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故, 所以, 点A、B的坐标为. (Ⅱ) 设，， ，所以，又PQ的中点在上，所以 消去得 19、（本小题满分14分） 已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为. (Ⅰ)求数列的首项和公比； (Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和； (Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得 存在且不等于零. (注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限) 19解: (Ⅰ)依题意可知, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差, ,即数列的前10项之和为155. (Ⅲ) ===， ，= 当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2 20、（本小题满分12分） A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有 （Ⅰ）设，证明： (Ⅱ)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的; (Ⅲ)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 解：对任意,,,,所以 对任意的，， ，所以0< ,令=，， 所以 反证法:设存在两个使得,则 由，得，所以，矛盾，故结论成立。 ，所以 +…