2007年广东高考理科数学真题及答案.doc

2007年广东高考理科数学真题及答案 本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式. 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求的. 1.已知函数的定义域为，的定义域为，则 A. B. C. D. 2.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则＝ A.2 B. C. D. 3.若函数 A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 4.客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 A B C D 5.已知数|an|的前n项和，第k项满足,则 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A. i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9 7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对,在S中有唯一确定的元素﹡与之对应）.若对任意的,有 ﹡(﹡,则对任意的,下列等式中不恒成立的是 A. (﹡)﹡ B. [﹡(﹡]﹡(﹡) C. ﹡(﹡) D. (﹡)﹡[﹡(﹡) 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分. 9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示） 10.若向量满足与的夹角为120°，则 . 11.在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 12.如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则＝ 图4 ; ＝ .（答案用数字或的解析式表示） 13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(参数),圆的参数方程为(参数)，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 . 14.（不等式选讲选做题）设函数＝ ;若，则的取值范围是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，则 ∠＝ ，线段的长为 . 图5 三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知△顶点的直角坐标分别为. （1）若，求sin∠的值; （2）若∠是钝角，求的取值范围. 17.(本题满分12分) 下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=; （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线相切于坐标原点O.椭圆＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10. （1）求圆C的方程. （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分14分） 如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记 V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积. （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ (3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值 20.（本小题满分14分） 已知a是实数，函数如果函数在区间上有零点，求a的取值范围. 21.（本小题满分14分） 已知函数是方程的两个根,是的导数.设, (1)求的值； (2)证明：对任意的正整数n，都有; (3)记,求数列的前n项和. 参考答案 一. CADBB CBA 二. 9. 10. 11. 12. ,12 , 13. 14. 15. 三.解答题 16.(1)解:,设AC中点为M,则; (2)解:,若是钝角,则 . 17. 解: (1) 散点图略 (2) ; 所求的回归方程为 (3) , 吨, 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨) 18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为 , 右焦点为 . 设存在点满足条件,则解得 故存在符合要求的点. 19.解: (1)即; (2),时, 时, 时取得最大值. (3)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则; ,设异面直线AC与PF夹角是 20.解:若,则有唯一零点为,故不符合要求; 由, 且.由当时, , 当时,,在两个区间上分别递增; 当时, ,在两个区间上分别递减; 由时, 时,,时, 分析如图: 解法二: 若 , ,显然在上没有 零点, 所以 令 得 当 时, 恰有一个零点在上; 当 即 时, 也恰有一个零点在上; 当 在上有两个零点时, 则 或 解得或 因此的取值范围是 或 ; 21解:(1) 由 得 (2)(数学归纳法)①当时,命题成立; ②假设当时命题成立,即 ,又等号成立时 时,时命题成立;由①②知对任意均有. (3) 同理 又 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列; .