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2006年山东高考理科数学真题及答案 第I卷（共60分） 注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B) 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 （2）函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 （A） （B） （C） （D） (3)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞） (C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2） （4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c= (A) 1 （B）2 （C）—1 （D） （5）设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为 (A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) (6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 （7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D) （8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 （10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是 (A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45 （11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 （12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为 (A) (B) (C) (D) （12题图） 第II卷（共90分） 注意事项： 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上. （13）若 . （14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 . （15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 . （15题图） （16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y= ②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2 ③若sin(+)= ,则sin(+)=,则tancot=5 ④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分. （16题图） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）. （1）求; （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008). （18）（本小题满分12分） 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。 （19）（本小题满分12分） 如图ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥V-A1B1C1的底面ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=2a,BC=a. （1）求证直线B1C1是异面直线与A1C1的公垂线； （2）求点A到平面VBC的距离； （3）求二面角A-VB-C的大小. （19题图） (20) （本小题满分12分） 袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率. （21）（本小题满分12分） 双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线. （1） 求双曲线C的方程； （2） 过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 =，且时，求Q点的坐标. （22）（本小题满分14分） 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； （3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1. 2006年山东高考理科数学真题参考答案 （1）—（12）DACBD BBAAD CC (13) 2 (14) 32 (15) (16) 17．（本小题满分12分） 已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）. （I）求 （II）计算. 解：（I） 的最大值为2，. 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，， . 过点， 又 . （II）解法一：， . 又的周期为4，， 解法二： 又的周期为4，， 18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间. 解：由已知得函数的定义域为，且 （1）当时，函数在上单调递减， （2）当时，由解得 、随的变化情况如下表 — 0 + 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. A B C A1 V B1 C1 综上所述： 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 19．（本小题满分12分） 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设 （1）求证直线是异面直线与的公垂线； （2）求点A到平面VBC的距离； （3）求二面角的大小。 解法1： （Ⅰ）证明：∵平面∥平面， 又∵平面⊥平面，平面∩平面， ∴⊥平面， ， 又，. 为与的公垂线. （Ⅱ）解法1：过A作于D， ∵△为正三角形， ∴D为的中点. ∵BC⊥平面 ∴， 又， ∴AD⊥平面， ∴线段AD的长即为点A到平面的距离. 在正△中，. ∴点A到平面的距离为. 解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=. 由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x， ， 即，解得. 即A到平面的距离为. 则 所以，到平面的距离为. (III)过点作于，连，由三重线定理知 是二面角的平面角。 在中， 。 。 所以，二面角的大小为arctan. 解法二： 取中点连,易知底面，过作直线交。 取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。 （I），， ， 。 又 由已知。 ， 而。 又显然相交， 是的公垂线。 （II）设平面的一个法向量， 又 由 取 得 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。 ，设所求距离为。 则 所以，A到平面VBC的距离为. （III）设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角， 所以，二面角的大小为 20．（本小题满分12分） 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率。 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为， 则 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为 所以. （II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5. 所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 因此的数学期望为 （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则 21．（本小题满分12分） 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。 （1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为， 对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ， 双曲线的方程为 （Ⅱ）解法一： 由题意知直线的斜率存在且不等于零。 设的方程：， 则 在双曲线上， 同理有： 若则直线过顶点，不合题意. 是二次方程的两根. ， 此时. 所求的坐标为. 解法二： 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，则. ， 分的比为. 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三： 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则. ， . ， ，， 又， 即 将代入得 ，否则与渐近线平行。 。 解法四： 由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：， 则 , 。 同理 . 即 。 （*） 又 消去y得. 当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。 由韦达定理有： 代入（*）式得 所求Q点的坐标为。 22．（本小题满分14分） 已知，点在函数的图象上，其中 （1）证明数列是等比数列； （2）设，求及数列的通项； （3）记，求数列的前项，并证明 解：（Ⅰ）由已知， ，两边取对数得 ， 即 是公比为2的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得 （Ⅲ） 又 又 .