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2005年山东高考文科数学真题及答案 第I卷（共60分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. 1．是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于 （ ） A．667 B．668 C．669 D．670 2．下列大小关系正确的是 （ ） A． B． C． D． 3．函数的反函数的图象大致是 （ ） 4．已知函数则下列判断正确的是 （ ） A．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 B．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 C．此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是 D．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是 5．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是 （ ） A． B． C． D． 6．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 （ ） A．7 B．－7 C．21 D．－21 7．函数则a的所有可能值为（ ） A．1 B．－ C． D．1， 8．已知向量a、b，且a+2b，－5a+6b，=7a－2b，则一定共线的三点是 （ ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 9．设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为 （ ） A．R B．R C．R D．R 10．10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（ ） A． B． C． D． 11．设集合A、B是全集U的两个子集，则A B是（ UA）∪B=U的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．设直线关于原点对称的直线为. 若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案须填在题中横线上. 13．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 . 14．设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= . 15．设、满足约束条件则使得目标函数的值最大的点 （，）是 . 16．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： ①. ②若. ③若 ④m，n是两条异面直线，若. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知向量 求的值. 18．（本小题满分12分） 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数. （Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求取球2次终止的概率； （Ⅲ）求甲取到白球的概率. 19．（本小题满分12分） 已知是函数的一个极值点，其中， （Ⅰ）求m与n的关系表达式； （Ⅱ）求的单调区间. 20．（本小题满分12分） 如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点， （Ⅰ）求异面直线AE与BF所成的角； （Ⅱ）求平面BDF与平面AA1B所成二面角 （锐角）的大小； （Ⅲ）求点A到平面BDF的距离.21．（本小题满分12分） 已知数列前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）。 （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）令. 22．（本小题满分14分） 已知动圆过定点，且与直线相切，其中. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程； （Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为 α和β，当α、β变化且α+β=时，证明直线AB恒过定点，并求 出该定点的坐标. 参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题 13．50 14． 15．（2，3） 16．③④ 三、解答题： 17．解法一： 由已知，得 又，所以 解法二： 由已知，得 18．解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知：， 所以，解得（舍去），即袋中原的3个白球. （Ⅱ）记“取球2次终止”的事件为A， 则 （Ⅲ）记“甲取到白球”的事件为B. “第i次取出的球是白球”的事件为Ai，i=1，2，3，4，5， 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球， ∴P（B）=P（A1+A3+A5）， 因为事件A1、A3、A5两两互斥， ∴P（B）=P（A1）+P（A3）+P（A5） 19．（I）解：，因为是的一个极值点，所以 ，即，所以 （II）解：由（I）知， 1°　当时，有，当变化时，与的变化如下表： （，1） 1 （1，+） <0 0 >0 0 <0 单调递减 极小值 单调递减 极大值 单调递减 由上表知，当）单调递减，在（,1）单调递增， 在（1，+）单调递减. 2° 的变化如下表： 1 （1，） （，+） >0 0 <0 0 >0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表知，当单调递增，在（1，）单调递减， 在（，+）单调递增. 20．解法一：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，以AB所在直张为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图. 由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0）， B（2，0，0），F（1，0，1） 又AD⊥平面AA1B1B， 从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30°， 又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD= 从而易得 （Ⅰ）∵ ∴ 即异面直线AE、BF所成的角为 （Ⅱ）易知平面AA1B的一个法向量=（0，1，0）。 设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量。 由， 取n=（1，）， ∴cos<m, n>= 即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为arccos 。 （Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。 所以距离 所以点A到平面BDF的距离为 解法二：（Ⅰ）连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K， ∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直， ∴ 又 因此FK//AE。 ∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角。 连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK， 从而△BKF为Rt△， 在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中， 由得 又， ∴ ∴异面直线BF与AE所成的角为 （Ⅱ）由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG， ∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成 二面角的平面角 且∠DAG=90°， 在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S， ∵F为A1B1的中点，， ∴A1、F分别为SA、SB的中点， 即SA=2A1A=2=AB， ∴Rt△BAS为等腰直角三角形， 垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合。 易得AG=AF=，在Rt△BAS中，， ∴ ∴ 即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所在的平面， ∴面AFD⊥面BDF。 在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离。 由AH·DF=AD·AF，得 所以点A到平面BDF的距离为。 21． 解：（Ⅰ）由已知 ∴ 两式相减，得 即 从而 当n=1时，S2=2S1+1+5， ∴ 又 从而 故总有 又∵ 从而 即为首项，2为公比的等比数列.………… （Ⅱ）由（Ⅰ）知 . 从而 22． 解：（Ⅰ）如图，设M为动圆圆心，记为F， 过点M作直线的垂线，垂足为N. 由题意知： 即动点M到定点F与定直线的距离相等， 由抛物线定义知：点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线. 所以轨迹方程为 （Ⅱ）如图，设，由题意得 又直线OA，OB的倾斜角，满足 所以直线AB的斜率存在，否则，OA，OB直线的倾斜角之和为 从而设AB方程为 显然联立消去x， 得由韦达定理知 （*） 由 = 将（*）式代入上式整理化简，得：. 此时，直线AB的方程可表示为： 即 所以，直线AB恒过定点