2007年天津高考理科数学真题及答案.doc

2007年天津高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．是虚数单位，（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（　　） Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14 3．“”是“”的（　　） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 4．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．函数的反函数是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　） Ａ．若与所成的角相等，则 Ｂ．若，，则 Ｃ．若，则 Ｄ．若，，则 7．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　） Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数 Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数 Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数 Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数 8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 9．设均为正数，且，，．则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10．设两个向量和，其中为实数．若，中央电视台的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答案前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上． 11．若的二项展开式中的系数为，则　　　　（用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　　． 13．设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　． 14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　． 15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值． 18．（本小题满分12分） 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分） 在数列中，，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立． 22．（本小题满分14分） 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12． 13．3 14． 15． 16．390 三、解答题 17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：． 因此，函数的最小正周期为． （Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为． 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下： y x O 由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为． 18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，． 故取出的4个球均为黑球的概率为． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥， 且，． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为． （Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，， ．从而． 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． （Ⅱ）证明：由，，可得． 是的中点，． 由（Ⅰ）知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． （Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则． 在中，． 所以二面角的大小是． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是． 20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当时，，， 又，． 所以，曲线在点处的切线方程为， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分两种情况讨论． （1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． （2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解法一：， ， ． 由此可猜想出数列的通项公式为． 以下用数学归纳法证明． （1）当时，，等式成立． （2）假设当时等式成立，即， 那么 ． 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立． 解法二：由，， 可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为． （Ⅱ）解：设，　　　① 　　　　　　　　② 当时，①式减去②式， 得， ． 这时数列的前项和． 当时，．这时数列的前项和． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明： ．　　　　③ 由知，要使③式成立，只要， 因为 ． 所以③式成立． 因此，存在，使得对任意均成立． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即． 解得，从而得到． 直线的方程为，整理得． 由题设，原点到直线的距离为，即， 将代入上式并化简得，即． 证法二：同证法一，得到点的坐标为． 过点作，垂足为，易知，故． 由椭圆定义得，又， 所以， 解得，而，得，即． （Ⅱ）解法一：设点的坐标为． 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，． 点的坐标满足方程组 将①式代入②式，得， 整理得， 于是，． 由①式得 ． 由知．将③式和④式代入得， ． 将代入上式，整理得． 当时，直线的方程为，的坐标满足方程组 所以，． 由知，即， 解得． 这时，点的坐标仍满足． 综上，点的轨迹方程为　． 解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为． 记（显然），点的坐标满足方程组 由①式得．　　　　　　③ 由②式得．　　　④ 将③式代入④式得． 整理得， 于是．　　　⑤ 由①式得．　　　⑥ 由②式得．　　⑦ 将⑥式代入⑦式得， 整理得， 于是．　　　⑧ 由知．将⑤式和⑧式代入得， ． 将代入上式，得． 所以，点的轨迹方程为．