2004年天津市高考理科数学真题及答案.doc

2004年天津市高考理科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位，　　 A． B． C． D． 2．（5分）若不等式的解集为　　 A．， B．， C．， D．， 3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　 A． B． C． D． 4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　 A．2 B．18 C．2或18 D．16 5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　 A． B． C． D． 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　 A． B． C． D． 7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的　　 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（5分）函数，，为增函数的区间是　　 A．， B．， C．， D．， 10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　 A． B． C． D．16 11．（5分）函数的反函数是　　 A． B． C． D． 12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　 　． 14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　 　． 15．（4分）若，则　 　．（用数字作答） 16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　 　个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数． （1）求的分布列和的数学期望； （2）求“所选3人中女生人数”的概率． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小． 20．（12分）已知函数在处取得极值． （Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程． 21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线的方程； （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． 2004年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位，　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 故选：． 2．（5分）若不等式的解集为　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解： 故选：． 3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　 A． B． C． D． 【解答】解向量与向量的夹角是， 向量与向量反向， 令（则， 又， 解得 故 故选：． 4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　 A．2 B．18 C．2或18 D．16 【解答】解：整理准线方程得， ，， 或 或18， 故选：． 5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 是减函数． ． ． ． ． ． 故选：． 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：取的中点．连接，再取的中点，连接、，则为异面直线所成的角． 在中，，，． 由余弦定理，可得． 故选：． 7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：是圆的弦，圆心为 设的中点是满足 因此，的斜率 可得直线的方程是，化简得 故选：． 8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的　　 A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：点都在直线上 ， “为等差数列， 若“为等差数列，可设，则点都不在直线上， 对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的充分而不必要条件， 故选：． 9．（5分）函数，，为增函数的区间是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由其增区间可由的减区间得到， 即， ，． 令，， 故选：． 10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　 A． B． C． D．16 【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面， 截面是一个矩形，并且长方体的体积， ，， 则，解得， 在直角中，， 故截面的面积是， 故选：． 11．（5分）函数的反函数是　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数，可得 ，， 所以函数的反函数是： 故选：． 12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：的最小正周期是 函数是偶函数 ． 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　80　． 【解答】解： 故答案是80 14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　　． 【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：． 因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△， 解之得． 故答案为： 15．（4分）若，则　2004　．（用数字作答） 【解答】解：令，得； 令，得， 故． 故答案为：2004 16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　300　个．（用数字作答） 【解答】解：①四位数中包含5和0的情况： ． ②四位数中包含5，不含0的情况： ． ③四位数中包含0，不含5的情况： ． 四位数总数为． 故答案为：300． 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）解：， 由，有，解得； （Ⅱ）解法一： ． 解法二：由（1），，得 ， 于是， 代入得． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数． （1）求的分布列和的数学期望； （2）求“所选3人中女生人数”的概率． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步， 随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2． ． 的分布列为 0 1 2 的数学期望为 （2）由（1）知“所选3人中女生人数”的概率为 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小． 【解答】解：方法一： （1）证明：连接，交于，连接． 底面是正方形，点是的中点 在中，是中位线， 而平面且平面， 所以，平面 （2）证明： 底面且底面， ，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线， ．① 同样由底面，得． 底面是正方形，有，平面． 而平面，．② 由①和②推得平面． 而平面， 又且，所以平面． （3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角． 由（2）知，，． 设正方形的边长为， 则，． 在中，． 在中，，． 所以，二面角的大小为． 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设． （1）证明：连接，交于，连接． 依题意得． 底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且． ，这表明． 而平面且平面，平面． （2）证明；依题意得，，，． 又，故． ． 由已知，且，所以平面． （3）解：设点的坐标为，，，，则，，，，． 从而，，．所以． 由条件知，，即，解得 点的坐标为，且， 即，故是二面角的平面角． ，且，， ． ． 所以，二面角的大小为． 20．（12分）已知函数在处取得极值． （Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程． 【解答】（Ⅰ）解：，依 题意，（1）， 即 解得，． ，． 令，得，． 若，，， 则， 故在上是增函数，在上是增函数． 若， 则，故在上是减函数． 所以，是极大值；（1）是极小值． （Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为，， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为 注意到点在切线上，有 化简得， 解得． 所以，切点为，切线方程为． 21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等． （1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6， （点数为偶数）；（3分） （2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4， （点数大于2且小于．（6分） 22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线的方程； （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为． 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率． （2）解：由（1）可得． 设直线的方程为．由方程组 得 依题意△，得． 设，，，，则，① ．② 由直线的方程得，．于是．③ ，．④ 由①②③④得，从而． 所以直线的方程为或 （3）证明：． 由已知得方程组 注意，解得 因，，，故． 而，所以． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:08:19；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156