2003年天津高考文科数学真题及答案.doc

2003年天津高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P. 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 V = 4pR 3 3 率 其中 R 表示球的半径 P (k ) = C k Pk (1 - P)n-k n n 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式 4x - x 2 < x 的解集是 A．（0，2） B．（2，+∞） （ ） C．（2，4） D．（－∞，0）∪（2，+∞） 2．抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为 （ ） 1 1 A. B．－ 8 8  C．8 D．－8 1 - 3i ( 3 + i)2 3． = （ ） A． 1 + 3 i 4 4 p B． - 1 - 3 i 4 4 4 C． 1 + 3 i 2 2 D． - 1 - 3 i 2 2 4. 已知 x Î (- 7 ,0), cos x = 2 ,则tan 2x = （ ） 5 7 24 24 A. B．－ C． 24 24 7 D．－ 7 1 5．等差数列{an }中,已知a1 = 3 , a2 + a5 = 4, an = 33,则n为 （ ） A．48 B．49 C．50 D．51 6. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 F1，F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ） 3 6 6 3 A. B． C． D． 2 3 3 ìï2- x - 1, x £ 0, í 7. 设函数 f (x) = 1 , 若 f (x0 ) > 1 ，则 x0 的取值范围是 （ ） ïîx 2 x > 0 A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞） 8.O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP = OA + l(  AB | AB |  + AC | AC  ×lÎ[0,+¥). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 x + 1 9. 函数 y = ln  x - 1 , x Î (1,+¥) 的反函数为 （ ） A. y = e x - 1 e x + 1  , x Î (0,+¥)  B. y = e x + 1 e x - 1  , x Î (0,+¥) C. y = e x - 1 e x + 1 , x Î (-¥,0) D. y = e x + 1 e x - 1 , x Î (-¥,0) 10. 棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） a 3 a 3 a 3 a 3 A. B． C． D． 3 4 6 12 11．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3 和 P4（入射角等于反射角）。若 P4 与 P0 重合，则 tanθ= （ ） 1 2 1 A． B． C． 2 3 5 2 D.1 12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A．3π B．4π C． 3 3p D．6π 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上. 13． (x 2 - 1 )9 展开式中 x9 的系数是 . 2x 14. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的 产品质量。现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆。 15. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 ”。 16. 将 3 种作物种植在如图 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植 方法共有 种.（以数字答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1 中点，点 P 为 BD1 中点. （1） 证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线； （2） 求点 D1 到面 BDE 的距离. 18．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C1：y=x2+2x 和 C：y=－x2+a，如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线，称 l 是 C1 和 C2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （Ⅰ）a 取什么值时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若 C1 和 C2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 19．（本题满分 12 分） 已知数列{an }满足a1 = 1, an = 3n-1 + a  n-1 (n ³ 2). （Ⅰ）求 a2 , a3 ; （Ⅱ）证明 an = 3n - 1 . 2 20．（本小题满分 12 分） 在三种产品，合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到 0.001） 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = sin(wx +j)(w> 0,0 £ j£ p) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M (3p,0) 对称，且在区间 4  [0, p ] 上是单调函数.求j和w的值. 2 22．（本小题满分 14 分） 已知常数 a>0，向量 c=（0，a），i=（1，0），经过原点 O 以 c+λi 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i－2λc 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由. 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。 - 21 13． 14．6，30，10 15．S2 ABC+ S2 ACD + S2 ADB = S2 BCD 16．42 2 三、解答题 △ △ △ △ 17. 本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分 12 分。 （1）证法一：取 BD 中点 M.连结 MC，FM . 1 ∵F 为 BD1 中点 ， ∴FM∥D1D 且 FM= 2 1  D1D . 又 EC 2 CC1 且 EC⊥MC ，∴四边形 EFMC 是矩形 ∴EF⊥CC1. 又 CM⊥面 DBD1 .∴EF⊥面 DBD1 . ∵BD1 Ì 面 DBD1 . ∴EF⊥BD1 . 故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得 1 B（0，1，0），D1（1，0，2），F（ 2 1 ， ，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）. 2 \ EF = ( 1 , 2 1 2 ,0), CC1  = (0,0,2).\ BD1 = (1,-1,2). \ EF × CC1 = 0, BD1 × EF = 0, 即 EF⊥CC1，EF⊥BD1 . 故 EF 是为 BD1 与 CC1 的公垂线. （Ⅱ）解：连结 ED1，有 VE－DBD1=VD1－DBE . 由（Ⅰ）知 EF⊥面 DBD1 ，设点 D1 到面 BDE 的距离为 d. 2 1 则SDDBE × d = SDDBD × EF.Q AA1 = 2, AB = 1. \ BD = BE = ED = 2, EF = 2 ,\ S 2  DDBD1 = 1 × 2 × 2 = 2. 2 ´ 2 SDDBE = 1 × 2 3 × ( 2 2)2 = 3 ×\ d = 2 2 = 2 3 . 3 3 2