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1997
天津
高考
理科
数学
答案
1997年天津高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.设集合M={x│0≤x<2},集合N={x│x2-2x-3<0},集合M∩N= ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a= ( )
(A) -3
(B) -6
(C)
(D)
3.函数y=tg()在一个周期内的图像是 ( )
4.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( )
(A) arccos
(B) arccos
(C)
(D)
5.函数y=sin()+cos2的最小正周期是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.满足arccos(1-x)arccosx的x的取值范围是 ( )
(A) [-1,-]
(B) [-,0]
(C) [0, ]
(D) [ ,1]
7.将y=2x的图像 ( )
(A) 先向左平行移动1个单位
(B) 先向右平行移动1个单位
(C) 先向上平行移动1个单位
(D) 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.
8.长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是 ( )
(A) 20
(B) 25
(C) 50
(D) 200
9.曲线的参数方程是 (t是参数,t0),它的普通方程是 ( )
(A) (x-1)2(y-1)=1
(B) y=
(C)
(D)
10.函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为 ( )
(A) 2
(B) 0
(C)
(D) 6
11.椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
12.圆台上、下底面积分别为、,侧面积为,这个圆台的体积是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
13.定义在区间的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[)的图像与f(x)的图像重合,设a>b>0,给出下列不等式:
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);
②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);
④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),
其中成立的是 ( )
(A) ①与④
(B) ②与③
(C) ①与③
(D) ②与④
14.不等式组 的解集是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
15.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 ( )
(A) 150种
(B) 147种
(C) 144种
(D) 141种
第Ⅱ卷 (非选择题共85分)
二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
16.已知的展开式中的系数为,常数a的值为________
17.已知直线的极坐标方程为sin()=,则极点到该直线的距离是_____
18.的值为_______
19.已知m,l是直线,、是平面,给出下列命题:
①若l垂直于内的两条相交直线,则l;
②若l平行于,则l平行于内的所有直线;
③若,,且,则;
④若,且,则;
⑤若,,且∥,则∥.
其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都填上)
三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20.(本小题满分10分)
已知复数,.复数,在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明是等腰直角三角形(其中为原点).
21.(本小题满分11分)
已知数列,都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p> q,且,.设,Sn为数列的前n项和.求.
22.(本小题满分12分)
甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已
知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b;固定部分为a元.
I.把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定
义域;
II.为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
23.(本小题满分12分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
I.证明ADD1F;
II.求AE与D1F所成的角;
III.证明面AED面A1FD1;
IV.设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积
24.(本小题满分12分)
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.
I.当x(0, x1)时,证明x<f (x)<x1;
II.设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称,证明x0<25.
(25)(本小题满分12分)
设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
1997年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.
1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.B 10.B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.D
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.
16.4 17. 18. 19.①,④
注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.
三.解答题
20.本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.
解法一:
于是
因为OP与OQ的夹角为,所以OP⊥OQ.
因为,所以
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.
解法二:
因为,所以.
因为,所以
于是
由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.
(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.
解:
.
分两种情况讨论.
(Ⅰ)p>1.
∵
=
=p.
(Ⅱ)p<1.
∵ 0<q<p<1,
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.
解:(Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有
当且仅当.即时上式中等号成立
若,则当时,全程运输成本y最小,
若,则当时,有
=
因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,
所以,且仅当v=c时等号成立,
也即当v=c时,全程运输成本y最小.
综上知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为;当时行驶速度应为v=c.
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.
解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1.
又D1F面DC1,
∴AD⊥D1F.
(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1.
(Ⅳ)连结GE,GD1.
∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,
∴
∵AA1=2,
∴正方形ABB1A1
(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.
证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以
F(x)=a(x-x1)(x-x2).
当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得
F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,
即x<f(x).
因为
所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.
得 x1-f(x)>0.
由此得f(x)<x1.
(Ⅱ)依题意知
因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.
∴,
因为ax2<1,所以.
(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.
解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│, │a│.
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截X轴所得的弦长为,故r2=2b2,
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有
r2=a2+1.
从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
,
所以5d2=│a-2b│2
=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2(a2+b2)
=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
或
由于r2=2b2知.
于是,所求圆的方程是
(x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2.
解法二:同解法一,得
∴
得 ①
将a2=2b2-1代入①式,整理得
②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
△=8(5d2-1)≥0,
得 5d2≥1.
∴5d2有最小值1,从而d有最小值.
将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.
将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.
综上a=±1,b=±1,r2=2.
由=1知a,b同号.
于是,所求圆的方程是
(x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2.