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2006年吉林高考理科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（　　） A．∅ B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（　　） A．2π B．4π C． D． 3．（5分）=（　　） A． B． C．i D．﹣i 4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（　　）度． A．40 B．50 C．70 D．80 5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　） A． B．6 C． D．12 6．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（　　） A．y=ex+1（x∈R） B．y=ex﹣1（x∈R） C．y=ex+1（x＞1） D．y=ex﹣1（x＞1） 7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 8．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（　　） A． B． C．f（x）=﹣log2x（x＞0） D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0） 9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（　　） A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x 11．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则=（　　） A． B． C． D． 12．（5分）函数的最小值为（　　） A．190 B．171 C．90 D．45 　 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）在的展开式中常数项为　　（用数字作答）． 14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为　　． 15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　　． 16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　　人． 　 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知向量，，． （1）若，求θ； （2）求的最大值． 18．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点． （I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线； （II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小． 20．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围． 21．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M． （Ⅰ）证明为定值； （Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值． 22．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，n=1，2，3，…． （1）求a1，a2； （2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 2006年吉林高考理科数学真题参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（　　） A．∅ B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 【分析】解出集合N，结合数轴求交集． 【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}， 用数轴表示可得答案D 故选D． 　 2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（　　） A．2π B．4π C． D． 【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案． 【解答】解：所以最小正周期为， 故选D 　 3．（5分）=（　　） A． B． C．i D．﹣i 【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可． 【解答】解： 故选A． 　 4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（　　）度． A．40 B．50 C．70 D．80 【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数． 【解答】解：连接OA、OB、OP， ∵∠P=40°， ∴∠AOB=140°， ∵PA、PB、DE分别与⊙O相切， ∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE， ∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°． 故选C． 　 5．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　） A． B．6 C． D．12 【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长． 【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a， 可得△ABC的周长为4a=， 故选C 　 6．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（　　） A．y=ex+1（x∈R） B．y=ex﹣1（x∈R） C．y=ex+1（x＞1） D．y=ex﹣1（x＞1） 【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域； 将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可． 【解答】解：由y=lnx+1解得x=ey﹣1，即：y=ex﹣1 ∵x＞0，∴y∈R 所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=ex﹣1（x∈R） 故选B 　 7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值． 【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为， 在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为， 所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=， 所以AB：A'B'=， 故选A． 　 8．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（　　） A． B． C．f（x）=﹣log2x（x＞0） D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0） 【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案． 【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上 ∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）， 所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上 ∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0） 故选D． 　 9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率． 【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0） 由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x， 得 =，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0） ∴该双曲线的离心率是e==． 故选A． 　 10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（　　） A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x 【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx代入，并化简即可得到答案． 【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x， ∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1） ∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x． 故选D 　 11．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则=（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可． 【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由等差数列的求和公式可得且d≠0， ∴， 故选A． 　 12．（5分）函数的最小值为（　　） A．190 B．171 C．90 D．45 【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解． 【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和， 可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90， 故选C． 解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号； |x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号； |x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号； … |x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号； |x﹣10|≥0，当x=10时取等号； 将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值） 故选C． 　 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）在的展开式中常数项为　45　（用数字作答）． 【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案． 【解答】解：要求常数项， 即40﹣5r=0， 可得r=8代入通项公式可得Tr+1=C108=C102=45 故答案为：45． 　 14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为　　． 【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD． 【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列 ∴A+C=2B ∵A+B+C=π ∴ ∵AD为边BC上的中线 ∴BD=2， 由余弦定理定理可得 故答案为： 　 15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　　． 【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路． 【解答】解：如图示，由图形可知： 点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部， 圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小， 只能是直线l⊥OA， 所以． 　 16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出　25　人． 【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可． 【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人 按分层抽样应抽出人 故答案为：25 　 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知向量，，． （1）若，求θ； （2）求的最大值． 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角． （2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围． 【解答】解：（1）因为，所以 得 又， 所以θ= （2）因为 = 所以当θ=时，的最大值为5+4=9 故的最大值为3 　 18．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率． 【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望． （2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果． 【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3 ==， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ∴ξ的数学期望E（ξ）= （2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的 ∴P（ξ≥2）= 　 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点． （I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线； （II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小． 【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得； （Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可． 【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分） ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分） （Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1， ∴A1E⊥平面ADC1． 作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角． 不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==， tan∠A1FE=， ∴∠A1FE=60°． 所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分） 　 20．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围． 【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=ea﹣1﹣1， 当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜ea﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，ea﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜ea﹣1﹣1有g（x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立 综上所述即可得出a的取值范围． 【解答】解法一： 令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax， 对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a 令g′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1， （i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数， 又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0）， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax． （ii）当a＞1时，对于0＜x＜ea﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，ea﹣1﹣1）是减函数， 又g（0）=0，所以对0＜x＜ea﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0）， 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立． 综上，a的取值范围是（﹣∞，1]． 解法二： 令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax， 于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立． 对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a 令g′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1， 当x＞ea﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数， 当﹣1＜x＜ea﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数， 所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为ea﹣1﹣1≤0． 由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]． 　 21．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M． （Ⅰ）证明为定值； （Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM． （2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1， 显然AB斜率存在且过F（0，1） 设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0， 判别式△=16（k2+1）＞0． x1+x2=4k，x1x2=﹣4 于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1） 从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1） •=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证． 这就说明AB⊥FM． （Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|． ∵， ∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即， 而4y1=x12，4y2=x22， 则x22=，x12=4λ， |FM|====． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2． 于是S=|AB||FM|=（）3， 由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4． 　 22．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1，n=1，2，3，…． （1）求a1，a2； （2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2； （2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可． 【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1， 于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=． 当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣， 于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0， 解得a2=． （2）由题设（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0， Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1， 代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．① 由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=． 由①可得S3=．由此猜想Sn=，n=1，2，3，． 下面用数学归纳法证明这个结论． （i）n=1时已知结论成立． （ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，即Sk+1=，故n=k+1时结论也成立． 综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．