2002年北京高考理科数学真题及答案.doc

2002年北京高考理科数学真题及答案 参考公式：三角函数的积化和差公式 ; ; 正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长 球体的体积公式 其中表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足条件的集合的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2．在平面直角坐标系中，已知两点，则的值是（ ） (A) (B) (C) (D) 3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ） (A)　 (B) (C) (D) 4．个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（ ） (A)(B) (C) (D) 5．已知某曲线的参数方程是，若以原点为极点，轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ） (A) (B) (C) 6．给定四条曲线：①，②，③，④．其中与直线仅有一个交点的曲线是（ ） (A)①②③ (B)②③④ (C)①②④ (D) ①③④ 7．已知，，且．若，则的最大值是（ ） (A)6 (B) 5 (C) 4 (D)3 8．若，则的值为（ ） (A)3　 (B)-3　 (C) -2　 (D) 9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） (A)种 (B) 种　 (C) 种 (D) 种 10．设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（ ） (A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分又非必要条件 11．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是（ ） (A) (B) (C) (D) 12．如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质： “对中任意的和，任意， 恒成立”的只有（ ） (A) (B) (C) (D) 二．填空题： 13．从大到小的顺序是 ． 14．等差数列，中，，公差不为零，且恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ． 15．关于直角在平面内的射影有如下判断：①可能是的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是的角．其中正确的序号是 ．（注：把你认为正确判断的序号都填上）． 16．已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．解不等式 18．如图，在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与两点，上、下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为． （1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）证明：； （3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算，已知它的体积公式是试判断与的大小关系，并加以证明． （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．） 19．数列由下列条件确定：，． （1）证明：对，总有； （2）证明：对，总有； （3）若数列的极限存在，且大于零，求的值． 20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求个不同的数的和，计算开始前，个数存贮在台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示： 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 1 2 2 1 （1）当时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 1 2 3 4 （2）当时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明） 21．已知，，是的三个顶点． （1）写出的重心，外心，垂心的坐标，并证明三点共线； （2）当直线与平行时，求顶点的轨迹． 22．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，，求数列的前项的和 参考解答   说明： 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. C 8. A 9. A 10. C 11. B 12. A 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13. 14. 4 15. （1）（2）（3）（4）（5） 16.  三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分12分。 解：原不等式 因为 又或 或 或 或 所以，原不等式组 因此，原不等式的解集为 18. 本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。 （1）解：过作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过作,垂足为Ｇ 平面ABCD//平面， ， 为所求二面角的平面角 过作，垂足为H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形为等腰梯形 又 ，即所求二面角的大小为 （2）证明：AB、CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD 又CD是面ABCD与面CDEF的交线 AB//面CDEF EF是面ABFE与面CDEF的交线 AB//EF AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外 EF//面ABCD （3） 证明：， 19. 本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分12分。 （1）证明：由及可归纳证明（没有证明过程不扣分） 从而有 所以，当时，成立 （2）证法一：当时，因为， 所以 故当时，成立 证法二：当时，因为， 所以 故当时，成立 （3）解：记，则，且 由 得 即 由，解得 故 20. 本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力，满分12分 （1）解：当时，只用2个单位时间即可完成计算 方法之一如下： （2）解：当时，至少需要7个单位时间才能完成计算 21. 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13分 （1）解：由三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（），可求得 重心G（，），外心F（，），垂心H（，） 当时，G、F、H三点的横坐标均为，故三点共线 当时，设G、H所在直线的斜率为，F、G所在直线的斜率为 因为 所以，G、F、H三点共线 综上可得，G、F、H三点共线 （2）解：若FH//OB，由，得 （，） 配方得，即 即（，） 所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，）四点 22. 本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13分 （1）解： 因为 所以 （2）是奇函数 证明：因为 所以 因此，为奇函数 （3）解法一： 由 猜测 下面用数学归纳法证明： 1. 当时，，公式成立 2. 假设当时，成立 那么当时 ，公式仍成立 由上两步可知，对任意，成立 所以 因为， 所以 （） 因此（） 解法二：当时， 令，则 故 所以 所以 （以下同解法一）