2007年北京高考文科数学真题及答案.doc

2007年北京高考文科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知cosθ•tanθ＜0，那么角是（　　） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数的反函数的定义域为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．函数的最小正周期是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　） Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个 6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或 7．平面平面的一个充分条件是（　　） Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线 Ｃ．存在两条平行直线 Ｄ．存在两条异面直线 8．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假： 命题甲：是偶函数； 命题乙：在上是减函数，在上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（　　） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③ 第II卷（共110分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．是的导函数，则的值是 ． 10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ． 11．已知向量．若向量，则实数的值是 ． 12．在中，若，，，则 ． 13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ． 14．已知函数，分别由下表给出 1 2 3 2 1 1 1 2 3 3 2 1 则的值为 ；当时， ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分） 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （I）若，求； （II）若，求正数的取值范围． 16．（本小题共13分） 数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列． （I）求的值； （II）求的通项公式． 17．（本小题共14分） 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点． （I）求证：平面平面； （II）求异面直线与所成角的大小． 18．（本小题共12分） 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 19．（本小题共14分） 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 20．（本小题共14分） 已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点． （I）求的取值范围； （II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｃ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） 解：（I）由，得． （II）． 由，得，又，所以， 即的取值范围是． 16．（共13分） 解：（I），，， 因为，，成等比数列， 所以， 解得或． 当时，，不符合题意舍去，故． （II）当时，由于 ， ， ， 所以． 又，，故． 当时，上式也成立， 所以． 17．（共14分） 解法一： （I）由题意，，， 是二面角是直二面角， ，又， 平面， 又平面． 平面平面． （II）作，垂足为，连结（如图），则， 是异面直线与所成的角． 在中，，， ． 又． 在中，． 异面直线与所成角的大小为． 解法二： （I）同解法一． （II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为． 18．（共13分） 解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为 ． （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为． 19．（共14分） 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为． ． （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又． 从而矩形外接圆的方程为． （III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长，半焦距． 所以虚半轴长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为． 20．（本小题共14分） 解：（I）由方程消得． ① 依题意，该方程有两个正实根， 故解得． （II）由，求得切线的方程为， 由，并令，得 ，是方程①的两实根，且，故，， 是关于的减函数，所以的取值范围是． 是关于的增函数，定义域为，所以值域为， （III）当时，由（II）可知． 类似可得．． 由①可知． 从而． 当时，有相同的结果． 所以．