1995年北京高考文科数学真题及答案.doc

1995年北京高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题；第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项有符合题目要求的) 1．已知集合I={0，－1，－2，－3，－4}，集合M={0，－1，－2，}，N={0，－3，－4}，则( ) (A) {0} (B) {－3，－4} (C) {－1，－2} (D) 2．函数y=的图像是( ) 3．函数y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是( ) (A) 6π (B) 2π (C) (D) 4．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( ) (A) (B) (C) 2πa2 (D) 3πa2 5．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( ) (A) k1< k2< k3 (B) k3< k1< k2 (C) k3< k2< k1 (D) k1< k3< k2 6．双曲线3x2－y2=3的渐近线方程是( ) (A) y=±3x (B) (C) y= (D) y= 7．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是( ) (A) (B) (C) (D) [0，π] 8．x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( ) (A) 相离 (B) 外切 (C) 相交 (D) 内切 9．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于( ) (A) (B) － (C) (D) － 10．如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是( ) (A) (B) (C) (D) 11．已知y=loga(2－x)是x的增函数，则a的取值范围是( ) (A) (0，2) (B) (0，1) (C) (1，2) (D) (2，+∞) 12．在(1－x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是( ) (A) －297 (B) －252 (C) 297 (D) 207 13．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题， ①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β 其中正确的两个命题是( ) (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③ 14．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn与Tn，若，则等于( ) (A) 1 (B) (C) (D) 15．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) (A) 24个 (B) 30个 (C) 40个 (D) 60个 第Ⅱ卷(非选择题共85分) 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上) 16．方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是_____________ 17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为，则圆台的体积与球体积之比为____________ 18．函数y=cosx+cos(x+)的最大值是___________ 19．若直线l过抛物线y2=4(x+1)的焦点，并且与x轴垂直，则l被抛物线截得的线段长为______________ 20．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有____________种(用数字作答) 三、解答题(本大题共6小题，共65分：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 21．(本小题满分7分)解方程3x+2－32－x=80． 22．(本小题满分12分)设复数z=cosθ+isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2+z的模和辐角 23．(本小题满分10分)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：． 24．(本小题满分12分)如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足． (1)求证：AF⊥DB (2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D－ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离． 25．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养值提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为，政府补贴为，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量Q近似地满足关系： P=1000(x+t－8) (x≥8，t≥0)， Q=500(8≤x≤14)， 当P=Q时的市场价格为市场平衡价格， (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域： (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元？ 26．(本小题满分12分)已知椭圆，直线l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 参考答案 一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．A 10．A 11．B 12．D 13．D 14．C 15．A 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 16．3 17． 18． 19．4 20．144 三、解答题 21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力， 解：设y=3x，则原方程可化为9y2－80y－9=0， 解得：y1=9，y2= 方程3x=无解， 由3x =9得x=2，所以原方程的解为x=2． 22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力， 解：z2+z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ+isinθ) =cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ =2coscos+i(2sincos) =2 cos(cos+isin) =－2 cos[cos(－π+)+isin(－π+)] ∵ θ∈(π，2π) ∴ ∈(，π) ∴ －2cos ()>0 所以复数z2+z的模为－2cos，辐角(2k－1)π+(k∈z)． 23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力， 证法一：设{an}的公比为q，由题设知a1>0，q>0， (1)当q=1时，Sn=na1，从而 Sn·Sn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－<0． (2)当q≠1时，，从而 Sn·Sn+2－==－qn<0． 由(1)和(2)得Sn·Sn+2<． 根据对数函数的单调性，得log0.5(Sn·Sn+2)>log0.5， 即． 证法二：设{an}的公比为q，由题设知a1>0，q>0， ∵ Sn+1= a1+qSn， Sn+2=a1+ qSn+1， ∴ Sn·Sn+2－=Sn (a1+ qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1= a1(Sn－Sn+1)=－a1 an+1<0． 即Sn·Sn+2<． (以下同证法一) 24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE， ∵ EB平面ABE， ∴ DA⊥EB， ∵ AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上， ∴ AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE， ∵ AF平面DAE， ∴ EB⊥AF， 又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB， ∵ DB平面DEB， ∴ AF⊥DB． (2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB． S△ABD=AB·AD= ∴ VD－ABE=VE－ABD=S△ABD =dah 又V圆柱=a2h 由题设知=3π，即d=． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法． 解：(1)依题设有1000(x+t－8)=500 化简得5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0， 当判别式△=800－16t2≥0时，可得：X=8－t±． 由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组： ① ② 解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解，故所求的函数关系式为 x=8－t+ 函数的定义域为[0，] (2)为使x≤10，应有8－t+≤10， 化简得：t2+4t－5≥0， 解得t≥1或t≤－5，由于t≥0知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元． 26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力． 解：设点P、Q、R的坐标分别为(12，yp)，(x，y)，(xR，yR由题设知xR>0，x>0， 由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组 解得 ① ② 由点O、Q、P共线，得，即yp=． ③ 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2得 将①、②、③式代入上式，整理得点Q的轨迹方程 (x－1)2+=1 (x>0) 所以点Q的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和，且长轴在x轴上的椭圆、去掉坐标圆点．