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1998年北京高考理科数学真题及答案 一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）sin330°等于（　　） A． B． C． D． 2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（　　） A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝16 4．（4分）两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（　　） A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C． D． 5．（4分）函数f（x）（ x≠0）的反函数f﹣1（x）＝（　　） A．x（x≠0） B．（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．（x≠0） 6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　） A．* B． C． D． 7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　） A．120° B．150° C．180° D．240° 8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（　　） A．i B．i C．±i D．±i 9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（　　） A．2 B．S0 C．2S0＝S+S′ D．S02＝2S'S 10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（　　） A． B． C． D． 11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（　　） A．90种 B．180种 C．270种 D．540种 12．（4分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（　　） A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（　　） A．4 B．2 C．2 D． 14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（　　） A．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin 15．（4分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足Sn，那么a1的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 16．（5分）已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是　 　． 17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为　 　（用数字作答）． 18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件　 　时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．） 19．（5分）关于函数f（x）＝4sin（x∈R），有下列命题： ①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍； ②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos； ③y＝f（x）的图象关于点对称； ④y＝f（x）的图象关于直线x对称． 其中正确的命题的序号是　 　．（把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题（共6小题，满分70分） 20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C．求sinB的值．以下公式供解题时参考： sinθ+sin∅＝2sincos， sinθ﹣sin∅＝2cossin， cosθ+cos∅＝2coscos， cosθ﹣cos∅＝﹣2sinsin． 21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程． 22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）． 23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C． （1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； （3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离． 24．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1． （1）写出曲线C1的方程； （2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称； （3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明st且t≠0． 25．（12分）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1+b2+…+b10＝145． （1）求数列{bn}的通项bn； （2）设数列{an}的通项an＝loga（1）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论． 1998年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）sin330°等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵ 故选：B． 2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：法一：由题设知 y， 又a＞1．由指数函数图象易知答案为B． 法二：因y＝a|x|是偶函数，又a＞1． 所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y＝ax，由指数函数图象知选B． 故选：B． 3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（　　） A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝16 【解答】解：将原极坐标方程ρ＝4cosθ，化为： ρ2＝4ρcosθ， 化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0， 即y2+（x﹣2）2＝4． 故选：B． 4．（4分）两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（　　） A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C． D． 【解答】解：直线A1x+B1y+C1＝0的方向向量为（﹣B1，A1），直线A2x+B2y+C2＝0的方向向量为（﹣B2，A2）， 两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0， 即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）＝0 可得A1A2+B1B2＝0 故选：A． 5．（4分）函数f（x）（ x≠0）的反函数f﹣1（x）＝（　　） A．x（x≠0） B．（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．（x≠0） 【解答】由y得x且y≠0，所以反函数f﹣1（x）且x≠0 故选则B 6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　） A．* B． C． D． 【解答】解：∵⇒⇒ 故选：B． 7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（　　） A．120° B．150° C．180° D．240° 【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2， 设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π， 该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180° 故选：C． 8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（　　） A．i B．i C．±i D．±i 【解答】解：∵﹣i＝cosisin，其立方根是 cosisin ，k∈0，1，2， 即 i，i，i， 故选：D． 9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（　　） A．2 B．S0 C．2S0＝S+S′ D．S02＝2S'S 【解答】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a， 根据相似比的性质可得：，可得： 消去r，可得2 故选：A． 10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数， 其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错； 由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大， 每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓， 其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错． 故选：B． 11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（　　） A．90种 B．180种 C．270种 D．540种 【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42＝540种． 故选：D． 12．（4分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（　　） A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 【解答】解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0）， 如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1 的中点坐标为（，） ∵线段PF1的中点M在y轴上， ∴0 ∴x＝3 将P（3，y）代入椭圆1，得到y2． ∴|PF1|， |PF2|． ∴． 故选：A． 13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（　　） A．4 B．2 C．2 D． 【解答】解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足， 则O′是△ABC的中心，则O′A＝r＝2，又因为∠AOC＝θ， OA＝OC知OA＝AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边， 故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA＝R，所以2＜R＜4． 因此，排除A、C、D，得B． 解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB＝2rsin60°＝2． 因为∠AOB＝θ，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R＝OA＝AB＝2． 解法三：因为正三角形ABC的外径r＝2，故高ADr＝3，D是BC的中点． 在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC，所以BC＝BO＝R，BDBCR． 在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2R2+9，所以R＝2． 故选：B． 14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（　　） A．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin 【解答】解：设Rt△ABC中，C，则A与B互余且A为最小内角． 又由已知得sin2B＝sinA，即cos2A＝sinA，1﹣sin2A＝sinA， 解得sinA或sinA（舍）． 故选：B． 15．（4分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足Sn，那么a1的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，） 【解答】解：由题意知Sn， ∴a12＝1﹣q， ∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2， ∴． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 16．（5分）已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是　　． 【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点， 所以圆C的圆心的横坐标为4． 故圆心坐标为（4，±）． ∴它到中心（0，0）的距离为d． 故答案为：． 17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为　179　（用数字作答）． 【解答】解：（x+2）10（x2﹣1）＝x2（x+2）10﹣（x+2）10 ∴（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数﹣x10的系数 ∵（x+2）10展开式的通项为Tr+1＝C10rx10﹣r2r＝2rC10rx10﹣r ∴令r＝0，2分别得x10，x8的系数为1，180 故展开式中x10的系数为180﹣1＝179， 故答案为179 18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件　AC⊥BD　时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．） 【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱， ∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1 则B1D1⊥平面A1AC1C ∴B1D1⊥AC， 又由B1D1∥BD， 则有BD⊥AC， 反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1 故答案为：BD⊥AC． 19．（5分）关于函数f（x）＝4sin（x∈R），有下列命题： ①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍； ②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos； ③y＝f（x）的图象关于点对称； ④y＝f（x）的图象关于直线x对称． 其中正确的命题的序号是　②　．（把你认为正确的命题序号都填上） 【解答】解：函数f（x）＝4sin的最小正周期T＝π， 由相邻两个零点的横坐标间的距离是知①错． 利用诱导公式得f（x）＝4cos ＝4cos4cos，知②正确． 由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心， 将x代入得f（x）＝4sin0， 因此点（，0）不是f（x）图象的一个对称中心， 故命题③错误． 曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x时y＝0，点 （，0）不是最高点也不是最低点， 故直线x不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 故答案为：② 三、解答题（共6小题，满分70分） 20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C．求sinB的值．以下公式供解题时参考： sinθ+sin∅＝2sincos， sinθ﹣sin∅＝2cossin， cosθ+cos∅＝2coscos， cosθ﹣cos∅＝﹣2sinsin． 【解答】解：由正弦定理和已知条件a+c＝2b得sinA+sinC＝2sinB． 由和差化积公式得2sincos2sinB． 由A+B+C＝π得sincos， 又A﹣C得cossinB， 所以cos2sincos． 因为0，cos0， 所以sin， 从而cos 所以sinB． 21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程． 【解答】解：法一：如图建立坐标系， 以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点． 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点． 设曲线段C的方程为 y2＝2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0）， 其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p＝|MN|． 所以M（，0），N（，0）． 由|AM|，|AN|＝3得 （xA）2+2pxA＝17，① （xA）2+2pxA＝9．② 由①，②两式联立解得xA．再将其代入①式并由p＞0解得 因为△AMN是锐角三角形，所以xA，故舍去 所以p＝4，xA＝1． 由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|4． 综上得曲线段C的方程为 y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）． 解法二：如图建立坐标系， 分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点． 作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F． 设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）． 依题意有 xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， yA＝|DM|， 由于△AMN为锐角三角形，故有 xN＝|ME|+|EN| ＝|ME|4 xB＝|BF|＝|BN|＝6． 设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合 {（x，y）|（x﹣xN）2+y2＝x2，xA≤x≤xB，y＞0}． 故曲线段C的方程为y2＝8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）． 22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）． 【解答】解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小． 根据题设，有4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0）， 得b（0＜a＜30）．① 于是y ， 当a+2时取等号，y达到最小值． 这时a＝6，a＝﹣10（舍去）． 将a＝6代入①式得b＝3． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大． 由题设知4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0）， 即a+2b+ab＝30（a＞0，b＞0）． 因为a+2b≥2， 所以ab≤30， 当且仅当a＝2b时，上式取等号． 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18． 即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18． 所以2b2＝18．解得b＝3，a＝6． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C． （1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； （3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离． 【解答】（1）解：如图作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC， 所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角． 因为AA1⊥A1C，AA1＝A1C， 所以∠A1AD＝45°为所求． （2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB． 所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角． 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC． 又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2， 所以DE＝1，AD＝A1D，tan∠A1ED． 故∠A1ED＝60°为所求． （3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H， 则CH的长是C到平面A1ABB1的距离． 连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB． 又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED， 所以∠HBC＝∠A1ED＝60° 所以CH＝BCsin60°为所求． 解法二：连接A1B． 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C﹣A1AB的高h． 由得， 即 所以为所求． 24．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1． （1）写出曲线C1的方程； （2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称； （3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明st且t≠0． 【解答】（1）解：曲线C1的方程为 y＝（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s． （2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点， 则有，，所以x1＝t﹣x2，y1＝s﹣y2． 代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程： s﹣y2＝（t﹣x2）3﹣（t﹣x2），即y2＝（x2﹣t）3﹣（x2﹣t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上． 反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上． 因此，曲线C与C1关于点A对称． （3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解． 消去y，整理得 3tx2﹣3t2x+（t3﹣t﹣s）＝0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根． 所以t≠0并且其根的判别式△＝9t4﹣12t（t3﹣t﹣s）＝0，即 所以且t≠0． 25．（12分）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1+b2+…+b10＝145． （1）求数列{bn}的通项bn； （2）设数列{an}的通项an＝loga（1）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论． 【解答】解：（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得 解得 所以bn＝3n﹣2． （2）由bn＝3n﹣2，知 Sn＝loga（1+1）+loga（1）++loga（1） ＝loga[（1+1）（1）（1）]，logabn+1＝loga． 因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1）（1）与的大小． 取n＝1有（1+1）， 取n＝2有（1+1）（1）， 由此推测（1+1）（1）（1）．① 若①式成立，则由对数函数性质可断定： 当a＞1时，Snlogabn+1． 当0＜a＜1时，Snlogabn+1． 下面用数学归纳法证明①式． （ⅰ）当n＝1时已验证①式成立． （ⅱ）假设当n＝k（k≥1）时，①式成立，即 （1+1）（1）（1）． 那么，当n＝k+1时， （1+1）（1）（1）（1）（1） （3k+2）． 因为， 所以（3k+2）． 因而（1+1）（1）（1）（1）． 这就是说①式当n＝k+1时也成立． 由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立． 由此证得： 当a＞1时，Snlogabn+1． 当0＜a＜1时，Snlogabn+1． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/8/12 0:35:12；用户：黄熠；邮箱：huangyi12388@；学号：716378