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1991年内蒙古高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内． (1) 已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( ) (A) y2=8(x+1) (B) y2=－8(x+1) (C) y2=8(x－1) (D) y2=－8(x－1) (3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( ) (A) (B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ( ) (A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对 (5) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ( ) (A) x=－ (B) x=－ (C) (D) (6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( ) (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (7) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ( ) (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为 ( ) (A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0) (9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ( ) (A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 (D) 35种 (10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件 (D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) …(1－)]的值等于 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－3]上是 ( ) (A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5 (14) 圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 (15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，那么集合 {x|f (x)g (x)=0}等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． (16) arctg+arctg的值是____________ (17) 不等式<1的解集是___________ (18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于 (19) (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那么a= (20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是 三、解答题：本大题共6小题；共60分． (21) (本小题满分8分) 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合． (22) (本小题满分8分) 已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值． (23) (本小题满分10分) 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离． (24) (本小题满分10分) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分) 已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式 logax－logx＋12logx＋…＋n (n－2)logx>log(x2－a) (26) (本小题满分12分) 双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程． 参考答案 说明： 一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则． 二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分． 三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤． 四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 五、只给整数分数． 一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分． (1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D 二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分． (16) (17) {x|－2<x<1} (18) (19) 1+ (20) 3πa2 三、解答题 (21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分． 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x ——1分 =1sin2x(1＋cos2x) ——3分 =2＋sin2x+cos2x =2+sin(2x+)． ——5分 当sin(2x+)=－1时y取得最小值2－． ——6分 使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－π，k∈Z}． ——8分 (22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分． 解：= = ——2分 =1－i． ——4分 1－i的模r==． 因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值 θ=π． ——8分 (23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分． 解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点． BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分 ∵ BD⊥AC， ∴ EF⊥HC． ∵ GC⊥平面ABCD， ∴ EF⊥GC， ∴ EF⊥平面HCG． ∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分 作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2， ∴ AC=4，HO=，HC=3． ∴ 在Rt△HCG中，HG=． 由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG． ∴ OK=． 即点B到平面EFG的距离为． ——10分 注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分． (24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2 ——1分 则f (x2) －f (x1) == (x1－x2) () ——3分 ∵ x1<x2， ∴ x1－x2<0． ——4分 当x1x2<0时，有= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分 当x1x2≥0时，有>0； ∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0． ——8分 即 f (x2) < f (x1) 所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分 证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2， ——1分 则 f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) ()． ——3分 ∵ x1<x2， ∴ x1－x2<0． ——4分 ∵ x1，x2不同时为零， ∴ x＋x>0． 又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2 ∴ >0， ∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0． ——8分 即 f (x2) < f (x1)． 所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分 (25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分． 解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 logax－4·＋12·＋…＋n(－2)n－1 · =[1－2＋4＋…＋(－2)n－1] logax =logax 故原不等式可化为logax>loga(x2－a)． ① 当n为奇数时，>0，不等式①等价于 logax>loga(x2－a)． ② 因为a>1，②式等价于 ——6分 因为<0， >=， 所以，不等式②的解集为{x|<x<}． ——8分 当n为偶数时，<0，不等式①等价于 logax>loga(x2－a)． ③ 因为a>1，③式等价于 或 ——10分 因为 ——12分 所以，不等式③的解集为{x|x>}． 综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}； 当n为偶数时，原不等式的解集是{x|} (26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分． 解法一：设双曲线的方程为=1． 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 ① ② 将②式代入①式，整理得 (5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分 设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0． 根据根与系数的关系，有 ④ ⑤ ——6分 由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为 P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))． 由OP⊥OQ得·=－1， 整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0． ⑥ 将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0， (a2+3b2)(3a2－b2)=0． 因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2， 所以 c==2a． ——8分 由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42． 整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦ 将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分 将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3． 故所求双曲线方程为x2－=1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分 解方程③得x1=，x2= ④ ——6分 由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))． 由OP⊥OQ，得x1 x2＋(x1－c)·(x2－c)=0． ⑤ 将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0， 即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0． 因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分 由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42． 即 (x2－x1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分 将b2=3a2代入上式，得a2=1， 将a2=1代入b2=3a2得b2=3． 故所求双曲线方程为 x2－=1． ——12分