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2007
天津
高考
文科
数学
答案
2007年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上无效.
3.本卷共10小题,每小题5分,共50分.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
一、选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
(2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A.10 B.12 C.13 D.14
(3) “”是“直线平行于直线”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(4)设,,,则( )
A. B. C. D.
(5)函数的反函数是( )
A. B.
C. D.
(6)设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )
A.若与所成的角相等,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
(7)设双曲线的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
(8)设等差数列的公差不为0,.若是与的等比中项,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(9)设函数,则( )
A.在区间上是增函数 B.在区间上是减函数
C.在区间上是增函数 D.在区间上是减函数
(10)设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.
3.本卷共12小题,共100分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
(11)从一堆苹果中任取了20只,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下:
分组
频数
1
2
3
10
1
则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 %.
(12)的二项展开式中常数项是 (用数字作答).
(13)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为,,,则此球的表面积为 .
(14)已知两圆和相交于两点,则直线的方程是 .
(15)在中,,,是边的中点,则 .
(16)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答).
三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
(18)(本小题满分12分)
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率;
(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(19)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面,
,,是的中点.
(Ⅰ)求和平面所成的角的大小;
(Ⅱ)证明平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(20)(本小题满分12分)
在数列中,,,.
(Ⅰ)证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明不等式,对任意皆成立.
(21)(本小题满分14分)
设函数(),其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值;
(Ⅲ)当时,证明存在,使得不等式对任意的恒成立.
(22)(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求使得下述命题成立:设圆上任意点处的切线交椭圆于,两点,则.
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.
(1)B (2)C (3)C (4)A (5)C
(6)D (7)D (8)B (9)A (10)A
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.
(11) (12) (13)
(14) (15) (16)
三、解答题
(17)本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查基本运算能力.满分12分.
(Ⅰ)解:在中,,由正弦定理,
.
所以.
(Ⅱ)解:因为,所以角为钝角,从而角为锐角,于是
,
,
.
.
(18)本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件,“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件.由于事件相互独立,且
,,
故取出的4个球均为红球的概率是
.
(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件,“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件.由于事件互斥,且
,.
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
.
(19)本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识.考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力.满分12分.
(Ⅰ)解:在四棱锥中,因底面,平面,故.
又,,从而平面.故在平面内的射影为,从而为和平面所成的角.
在中,,故.
所以和平面所成的角的大小为.
(Ⅱ)证明:在四棱锥中,
因底面,平面,故.
由条件,,面.
又面,.
由,,可得.
是的中点,,
.综上得平面.
(Ⅲ)解:过点作,垂足为,连结.由(Ⅱ)知,平面,在平面内的射影是,则.
因此是二面角的平面角.
由已知,可得.设,可得
,,,.
在中,,,则
.
在中,.
所以二面角的大小.
(20)本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:由题设,得
,.
又,所以数列是首项为,且公比为的等比数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,于是数列的通项公式为
.
所以数列的前项和.
(Ⅲ)证明:对任意的,
.
所以不等式,对任意皆成立.
(21)本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
(Ⅰ)解:当时,,得,且
,.
所以,曲线在点处的切线方程是,整理得
.
(Ⅱ)解:
.
令,解得或.
由于,以下分两种情况讨论.
(1)若,当变化时,的正负如下表:
因此,函数在处取得极小值,且
;
函数在处取得极大值,且
.
(2)若,当变化时,的正负如下表:
因此,函数在处取得极小值,且
;
函数在处取得极大值,且
.
(Ⅲ)证明:由,得,当时,
,.
由(Ⅱ)知,在上是减函数,要使,
只要
即
①
设,则函数在上的最大值为.
要使①式恒成立,必须,即或.
所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立.
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分14分.
(Ⅰ)证法一:由题设及,,不妨设点,其中
,由于点在椭圆上,有,
,
解得,从而得到,
直线的方程为,整理得
.
由题设,原点到直线的距离为,即
,
将代入原式并化简得,即.
证法二:同证法一,得到点的坐标为,
过点作,垂足为,易知,故
由椭圆定义得,又,所以
,
解得,而,得,即.
(Ⅱ)解法一:圆上的任意点处的切线方程为.
当时,圆上的任意点都在椭圆内,故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和,因此点,的坐标是方程组
的解.当时,由①式得
代入②式,得,即
,
于是,
.
若,则
.
所以,.由,得.在区间内此方程的解为.
当时,必有,同理求得在区间内的解为.
另一方面,当时,可推出,从而.
综上所述,使得所述命题成立.