2003年天津高考理科数学真题及答案.doc

2003年天津高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 其中R表示球的半径 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （ ） A． B． C． D． 2． 已知 （ ） A． B．－ C． D．－ 3．设函数若，则x0的取值范围是 （ ） A．（－1，1）； B．（－1，+∞）；C．（－∞，－2）∪（0，+∞）；D．（－∞，－1）∪（1，+∞）。 4．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．函数的反函数为 （ ） A． B． C． D． 6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A． B． C． D． 7．设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 8．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则（ ） A．1 B． C． D． 9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是 （ ） A． B． C． D． 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）设P4的坐标为（x4，0），若则的取值范围是 （ ） A．（，1） B． C． D． 11． （ ） A．3 B． C． D．6 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A．3π B．4π C． D．6π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．展开式中的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层 抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种 不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同 的栽种方法有 （以数字作答） 16．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象. 18．（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. 19．（本小题满分12分） 设，求函数的单调区间. 20．（本小题满分12分） A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B 队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η （1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ，Eη. 21．（本小题满分14分） 已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分） 设为常数，且 （1）证明对任意； （2）假设对任意有，求的取值范围. 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分 13． 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1） 所以函数的最小正周期为，最大值为. （2）由（1）知 故函数在区间上的图象是 18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC， （Ⅱ）连结A1D，有 , 设A1到平面AED的距离为h， 则 . 故A1到平面AED的距离为. 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分. 解：. 当时 . （i）当时，对所有，有. 即，此时在内单调递增. （ii）当时，对，有， 即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此， 函数在（0，+）内单调递增 （iii）当时，令，即. 解得. 因此，函数在区间内单调递增，在区间 内也单调递增. 令， 解得. 因此，函数在区间内单调递减. 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分 12分）. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. ， 又， ， . 解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（）. ， ，解得a=1. . A1B与平面ABD所成角是 . （2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1） 平面AA1E，又ED平面AED. ∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE， ∴点A在平面AED的射影K在AE上. 设， 则 由，即， 解得. 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=, P(η=1)=P(ξ=2)= P(η=2)=P(ξ=1)= , P(η=3)=P(ξ=0)= . （2）； 因为ξ+η=3，所以 21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分. 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. ∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）. 因此，直线OP和AP的方程分别为 和 . 消去参数λ，得点的坐标满足方程. 整理得 ……① 因为所以得： （i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点. 22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为－2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 ……① （i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 即为 ……② ②式对k=1，2，…都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为 即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 综上，①式对任意n∈N*，成立，有 故a0的取值范围为 解法二：如果（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时，对任意n∈N*， 由an的通项公式 （i）当n=2k－1，k=1，2…时， （ii）当n=2k，k=1，2…时， 故a0的取值范围为