2007年四川高考理科数学真题及答案.doc

2007年四川高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一．选择题： (1)复数的值是 （A）0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是 (3) （A）0 (B)1 (C) (D) (4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （A）BD∥平面CB1D1 （B）AC1⊥BD （C）AC1⊥平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60° （5）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是 （A） （B） （C） （D） （6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是 （A） （B） （C） （D） （7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为 (A) (B) (C) (D) （8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于 （A）3 （B）4 （C） （D） （9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 （A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 （A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个 （11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 （A） （B） （C） （D） （12）已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上. （13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= . (14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 . (15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题： ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|. ③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数 ⑤函数 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知<<<, (Ⅰ)求的值. （Ⅱ）求. （18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率. （19）（本小题满分12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面⊥平面; （Ⅱ）求二面角的大小; （Ⅲ）求三棱锥的体积. （20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数 （21）（本小题满分12分） 已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数 (Ⅰ)用表示 (Ⅱ) (22)(本小题满分14分) 设函数. (Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项; (Ⅱ)对任意的实数x,证明＞ (Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分 （1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分 （13） （14） （15） （16）① ④ 三．解答题： （17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。 解：（Ⅰ）由，得 ∴，于是 （Ⅱ）由，得 又∵，∴ 由得： 所以 （18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有 （Ⅱ）可能的取值为 ，， 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 （19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： （Ⅰ）∵ ∴， 又∵ ∴ （Ⅱ）取的中点，则，连结， ∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ∴ 在中，由余弦定理得 在中， 在中， 在中， 故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形 ∴ 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图） 由题意有，设， 则 由直线与直线所成的解为，得 ，即，解得 ∴，设平面的一个法向量为， 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ∵，∴ （20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 （21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题可得 所以过曲线上点的切线方程为， 即 令，得，即 显然 ∴ （Ⅱ）证明：（必要性） 若对一切正整数，则，即，而，∴，即有 （充分性）若，由 用数学归纳法易得，从而，即 又 ∴ 于是， 即对一切正整数成立 （Ⅲ）由，知，同理， 故 从而，即 所以，数列成等比数列，故， 即，从而 所以 （22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 （Ⅱ）证法一：因 证法二：因 而 故只需对和进行比较。 令，有 由，得 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值 故当时，， 从而有，亦即 故有恒成立。 所以，原不等式成立。 （Ⅲ）对，且 有 又因，故 ∵，从而有成立， 即存在，使得恒成立。