1990年北京高考理科数学真题及答案.doc

1990年北京高考理科数学真题及答案 　 一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）方程=的解是（　　） 　 A． x= B． x= C． x= D． x=9 2．（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（　　） 　 A． B． i C． D． 　 3．（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（　　） 　 A． B． C． D． 　 4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　 5．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（　　） 　 A． ϖ=，φ= B． ϖ=，φ=﹣ C． ϖ=2，φ= D． ϖ=2，φ=﹣ 　 6．（4分）函数的值域是（　　） 　 A． {﹣2，4} B． {﹣2，0，4} C． {﹣2，0，2，4} D． {﹣4，﹣2，0，4} 　 7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（　　） 　 A． a=，b=6 B． a=，b=﹣6 C． a=3，b=﹣2 D． a=3，b=6 　 8．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（　　） 　 A． 圆 B． 椭圆 C． 双曲线的一支 D． 抛物线 　 9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么等于（　　） 　 A． B． {（2，3）} C． （2，3） D． {（x，y）|y=x+1} 　 10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（　　） 　 A． B． C． D． 　 11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（　　） 　 A． 90° B． 60° C． 45° D． 30° 　 12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（　　） 　 A． 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 　 B． 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 　 C． 甲是乙的充分条件 　 D． 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 　 13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（　　） 　 A． 24种 B． 60种 C． 90种 D． 120种 　 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（　　） 　 A． 70个 B． 64个 C． 58个 D． 52个 　 15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C关于原点对称，那么C'所对应的函数是（　　） 　 A． y=﹣arctg（x﹣2） B． y=arctg（x﹣2） C． y=﹣arctg（x+2） D． y=arctg（x+2） 　 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 16．（5分）双曲线的准线方程是　_________　． 　 17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于　_________　． 　 18．（5分）（2011•上海模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果sn是{an}的前n项的和，那么等于　_________　． 　 19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 　_________　． 　 20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=　_________　． 　 三、解答题（共6小题，满分65分） 21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 　 22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值． 　 23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数． 　 24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a． 　 25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标． 　 26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2． （Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围； （Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立． 　 参考答案 　 一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1． 考点： 对数的运算性质；指数式与对数式的互化． 分析： 根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案． 解答： 解：∵ ∴ ∴ 故选A． 点评： 本题主要考查指数式与对数式的相互转化． 　 2． 考点： 复数代数形式的混合运算． 分析： 把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可． 解答： 解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的 向量：（1+i）[cos（﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=， 故选D． 点评： 复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向， 本题是基础题． 　 3． 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 计算题． 分析： 设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项． 解答： 解：设圆柱高为h，则底面半径为． 由题意知，S=πh2， ∴h=， ∴V=π（）2•h=． 故选D． 点评： 本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型． 　 4． 考点： 正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析： 通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值． 解答： 解：sin2x=2sinxcosx=sinx ∴sinx=0或cosx= ∵x∈（0，2π） ∴x=π或或 故选C 点评： 本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题． 　 5． 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题；数形结合法． 分析： 由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知 ω•+=2π，求出ω． 解答： 解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜， ∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0）， ∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π， ∴ω=2，综上，φ=，ω=2， 故选C． 点评： 本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标 分别为：0，，π，，2π． 　 6． 考点： 函数的值域；三角函数的化简求值． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解． 解答： 解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定 在各个象限中函数的值 当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4； 当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2； 当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0； 当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2； 所以函数的值域是{﹣2，0，4}． 故选B． 点评： 本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号 进行化简求值． 　 7． 考点： 反函数． 分析： 本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识； 本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得， 其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解． 解答： 解： 法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=， 与y=ax+2对照可得a=，b=6； 法二：在y=ax+2上取点（0，2）， 则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6； 又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=， 由此可得a=，b=6 答案：a=，b=6 点评： 本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有 特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁． 　 8． 考点： 简单曲线的极坐标方程． 分析： 先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断． 解答： 解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2， 化成直角坐标方程为 5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆． 故选A． 点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置， 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 　 9． 考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 先化简集合M，再计算． 解答： 解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}， ∴， 又∵． ∴． 故答案选B． 点评： 本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素． 　 10． 考点： 简单线性规划． 专题： 计算题． 分析： 先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率 最大求出最大值． 解答： 解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆 表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx 由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大 故有解得或 由图知， 故选A 点评： 本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值． 　 11． 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 解答： 解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角 设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF ∴∠DEF=45°， 故选C． 点评： 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 　 12． 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析： 巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题． 解答： 解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的 必要条件； 不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件． 故选B 点评： |a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的 一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法． 　 13． 考点： 排列、组合的实际应用． 专题： 转化思想． 分析： 根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的 右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案． 解答： 解：根据题意，使用倍分法， 五人并排站成一排，有A55种情况， 而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的， 则其情况数目是相等的， 则B站在A的右边的情况数目为×A55=60， 故选B． 点评： 本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的． 　 14． 考点： 棱锥的结构特征． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数． 解答： 解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个 不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个 所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个 故选C． 点评： 本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题． 　 15． 考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 压轴题． 分析： 根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可． 解答： 解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C 则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2） 又∵图象C'与C关于原点对称 则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2） 故选D 点评： 平移变换的口决是“左加右减，上加下减” 对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面” 　 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 16． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解． 解答： 解：∵a=4，b=3， 则c=5， 双曲线的准线方程是， 故答案是． 点评： 本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上． 　 17． 考点： 二项式定理的应用． 专题： 计算题． 分析： 多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各 个系数． 解答： 解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52 =﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20 故答案为﹣20 点评： 本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用． 　 18． 考点： 等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和． 分析： 设an=a1+（n﹣1）d，sn=na1+d，代入求出极限即可． 解答： 解：设an=a1+（n﹣1）d，sn=na1+d，代入得 ===2 故答案为2 点评： 考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力． 　 19． 考点： 三角函数的最值． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数， 求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值． 解答： 解：令t=sinx+cosx=则 ∴sinxcosx= ∴y==（） 对称轴t=﹣1 ∴当t=时，y有最大值 故答案为 点评： 本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的 最值的求法． 　 20． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1=V1；VBCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V， 根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比． 解答： 解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1=V1； VBCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V 计算体积： V1=h（s1+s+）① V=sh ② V2=V﹣V1③ 由题意可知，s1=④ 根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则 故答案为： 点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题． 　 三、解答题（共6小题，满分65分） 21． 考点： 数列的应用． 专题： 计算题． 分析： 设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知 ，由此能求出这四个数． 解答： 解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x． 依题意，有 由①式得x=3y﹣12．③ 将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2， 整理得y2﹣13y+36=0． 解得y1=4，y2=9． 代入③式得x1=0，x2=15． 从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1． 点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用． 　 22． 考点： 两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用． 分析： 和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入 即求的结果，注意二倍角公式的符号． 解答： 解法一：由已知得 sinα+sinβ=2sincos=， cos， 两式相除得tan=， tan（α+β）= = 点评： 数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多， 难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质， 熟记公式，才不会出错． 　 23． 考点： 平面与平面之间的位置关系． 专题： 计算题． 分析： 欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用 Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可． 解答： 解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE． 又已知SC⊥DE，BE∩DE=E， ∴SC⊥面BDE， ∴SC⊥BD． 又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上， ∴SA⊥BD． 而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC． ∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC． ∴∠EDC是所求的二面角的平面角． ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC． 设SA=a，则AB=a，BC=SB=a ∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS= ∴∠ACS=30°． 又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°． 点评： 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力， 属于基础题． 　 24． 考点： 复数的基本概念；复数相等的充要条件． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个 关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部， 写出纯虚数即可． 解答： 解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a． 由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论． 解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i． 若a≥0，对r作如下讨论： （1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数． 解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）． 故z=±（）． （2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数． 解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）． 故z=±（）i（a≤1）． 综上所述，原方程的解的情况如下： 当a＜0时，解为：z=±（）i； 当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i； 当a＞1时，解为：z=±（）． 点评： 本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x， y的实系数的二元方程组来求解． 　 25． 考点： 椭圆的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出 b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标． 解答： 解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π， 由可得，即a=2b． 设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则 = = = =． 如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得， 由此得，与矛盾． 因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得， 由此可得b=1，a=2． ∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是， 由可得， 椭圆上的点和到点P的距离都是． 点评： 本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用． 　 26． 考点： 对数函数图象与性质的综合应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实数 a的取值范围． （Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时， [1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0， x∈（﹣∞，1]，n≥2， 即， ∵上都是增函数， ∴在（﹣∞，1]上也是增函数， 从而它在x=1时取得最大值． 所以， ∵等价于， 故a的取值范围是{a|a＞﹣}． （Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2 ＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0． ∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an﹣1an） ≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32） +…+（a22+an2）]+…+[（an﹣22+an﹣12）+（an﹣22+an2）]+（an﹣12+an2） =n（a12+a22+…+an2）． 于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立． 利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x， 所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]， 当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a， 所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]， 即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0． 点评： 本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用， 并且细心运算，避免不必要的错误．