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2005年内蒙古高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R表示球的半径 YCY 一、选择题： 1．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 （ ） A． B． C．π D．2π 2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的 过P、Q、R的截面图形是 （ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．函数的反函数是 （ ） A． B． C． D． 4．已知函数内是减函数，则 （ ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 5．设a、b、c、d∈R，若为实数，则 （ ） A．bc+ad≠0 B．bc－ad≠0 C．bc－ad=0 D．bc+ad=0 6．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为 （ ） A． B． C． D． 7．锐角三角形的内角A、B满足tanA－=tanB，则有 （ ） A．sin2A－cosB=0 B．sin2A+cosB=0 C．sin2A－sinB=0 D．sin2A+sinB=0 8．已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E， 那么有等于 （ ） A．2 B． C．－3 D．－ 9．已知集合M={x|x2－3x－28≤0}, N={x|x2－x－6>0}，则M∩N为 （ ） A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7} C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3} 10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 （ ） A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10） 11．如果a1, a2, …,a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则 （ ） A．a1a8>a4a5 B．a1a8<a4a5 C．a1+a8>a4+a5 D．a1a8=a4a5 12．将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3．本卷共10小题，共90分。 YCY 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 . 14．设为第四象限的角，若= . 15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个. 16．下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 设函数的取值范围. 18．（本小题满分12分） 已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列.又 （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a1和公差d. （注：无穷数列各项的和即当时数列前n项和的极限） 19．（本小题满分12分） 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001） 20．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB； （Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小. 21．（本小题满分14分） P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 22．（本小题满分12分） 已知 （Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 参考答案 1-6: CDBBCC 7-12: ACACBC 13. ;　14..　15. 192； 16. ①，④ 17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分12分 解：由于是增函数，等价于　　　　① （1） 当时，，①式恒成立。 （2） 当时，，①式化为，即 （3） 当时，，①式无解 综上的取值范围是 18.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。（Ⅰ）证明：、、成等差数列，，即 又设等差数列的公差为，则，即 ，， 这时是首项，公比为的等比数列。 （Ⅱ）解：如果无穷等比数列的公比，则当时其前项和的极限不存在。 因而，这时公比，，这样的前项和 则 由得公差，首项 19.本小题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4 比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P（＝3）＝ 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。因而 P（＝4）＝＋ 比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而 P（＝5）＝＋ 所以的概率分布为 3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 的期望＝3×P（＝3）＋4×P（＝4）＋5×P（＝5）＝4.0656 20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分12分。 证明：（Ⅰ）证明：连结EP， 底面ABCD，DE在平面ABCD内，。 又CE＝ED，PD＝AD＝BC， F为PB中点，∴由三垂线定理得，∴在中，PF＝AF。 又PE＝BE＝EA， PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF平面PAB。 （Ⅱ）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝ ∴PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AFPB。 PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB平面AEF。 连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH平面AEF，GAH为AC与平面AEF所成的角。 由EGC∽BGA可知EG＝， 由ECH∽EBF可知， ∴ ∴与平面所成的角为 21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为。 又PQ过点F（0,1），故PQ方程为，将此式代入椭圆方程得 设P、Q两点的坐标分别为、，则 ， 从而， （1）当时，MN的斜率为－，同上可推得 故四边形的面积 令，得 因为， 当时，，且S是以为自变量的增函数， 所以 （2）当时，MN为椭圆长轴，， 综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 22．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。满分12分。 解：（I）对函数求导数，得 已知，函数． （Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围． 令，得，从而， 解得，，其中 当变化时，的变化情况如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 当在处取到极大值，在处取到极小值。 当时，，，在上为减函数，在上为增函数， 而当时，；当时， 所以当时，取得最小值。 （II）当时，在上为单调函数的充要条件是， 即，解得。 综上，在上为单调函数的充要条件。 即的取值范围是。