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2006年内蒙古高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷（选择题） 一．选择题 (1)已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝ （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 （2）已知集合，则 （A）　　　　　　　　　　　　（B） （C）　　　　　　　（D） （3）函数的最小正周期是 （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D） (4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为 （A）　　　　（B） （C）　　　　（D） （5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是 （A）　　　　（B）6　　　　（C）　　　　（D）12 （6）已知等差数列中，，则前10项的和＝ （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 （7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则 （A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9 （8）已知函数，则的反函数为 （A）　　　　（B） （C）　　　　（D） （9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D） （10）若则 （A）　　　　（B） （C）　　　　（D） （11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （A） （B） （C） （D） （12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答） （14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。 （15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分） 在,求 （1） (2)若点 （18）（本小题满分１２分） 设等比数列的前n项和为， （19）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。 （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。 （20）（本小题１２分） 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。 （I）证明：ED为异面直线与的公垂线； （II）设求二面角的大小 (21）（本小题满分为１４分） 设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。 （22）（本小题满分１２分） 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明为定值； （II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。 2006年内蒙古高考文科数学真题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D C B B B A C D A 二、填空题 （13）45；（14）；（15）；（16）25 一．选择题 （1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( B ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 解：//Þ4×3－2x＝0，解得x＝6，选B （2）已知集合，则( D ) （A） （B） （C） （D） 解：,用数轴表示可得答案D （3）函数的最小正周期是(D ) （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D） 解析: 所以最小正周期为,故选D （4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为( D ) （A）　　（B） （C）　（D） 解：以－y，－x代替函数中的x，，得 的表达式为 ，选D （5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( C ) （A）　　　　（B）6　　　　（C）　　　　（D）12 解：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C （6）已知等差数列中，，则前10项的和＝(B ) （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 解：d＝，＝3，所以 ＝210，选B （7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( A ) （A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9 解：连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A （8）已知函数，则的反函数为(B ) （A）　　　　（B） （C）　　　　（D） 解：所以反函数为故选B （9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( A ) （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D） 解：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A （10）若则(C ) （A）　（B） （C）　　（D） 解： 所以,因此故选C （11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( D ) （A） （B） （C） （D） 解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且 于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得 ＝0或－4，代入可验正D正确。选D （12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( A ) （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3 若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，则有＝90种 所以共有150种，选A 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在的展开式中常数项是45。（用数字作答） 解： 要求常数项,即40-5r=0,可得r=8代入通项公式可得 （14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比1 : 3。 解：设圆的半径为r，则＝，＝，由得r : R＝: 3 又，可得1 : 3 （15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 解：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。 解：由直方图可得（元）月收入段共有人 按分层抽样应抽出人 三、解答题 17、解：（1）由 由正弦定理知 （2） 由余弦定理知 （18）解：设的公比为q，由，所以得 ……………………………………① ……………………………………② 由①、②式得 整理得 解得 所以 q＝2或q＝－2 将q＝2代入①式得， 所以 将q＝－2代入①式得， 所以 19解：设表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1； 表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2； （1）依题意所求的概率为 (2)解法一：所求的概率为 解法二：所求的概率为 20．解法一： A B C D E A1 B1 C1 O F （Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分 （Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角． 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 解法二： （Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点． 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)． 则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分 A B C D E A1 B1 C1 O z x y ＝（0，b，0），＝(0，0，2c)． ·＝0，∴ED⊥BB1． 又＝(－2a，0，2c)， ·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线． （Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， ＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)， ·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面A1AD． 又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， ＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)， ·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴　　EC⊥面C1AD．　　……10分 cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 （21）解：由f（x）为二次函数知 令f（x）＝0解得其两根为 由此可知 （i）当时， 的充要条件是，即解得 （ii）当时， 的充要条件是，即解得 综上，使成立的a的取值范围为 22．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ， 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2， 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22． 解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0 所以·为定值，其值为0．　　　……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|． |FM|＝＝ ＝ ＝＝＋． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2． 于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3， 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．