2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题.doc

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 理 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足（为虚数单位），则为（ ） A． B． C． D． 3．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”，如图是某市月日到日的统计数据，则下列叙述正确的是（ ） A．这天的的中位数是 B．天中超过天空气质量为“优良” C．从月日到日，空气质量越来越好 D．这天的的平均值为 4．已知平面向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 5．某围棋俱乐部有队员人，其中女队员人，现随机选派人参加围棋比赛，则选出的人中有女队员的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知，表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象 关于原点对称，则等于（ ） A． B． C． D． 8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 10．正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为， 则四面体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11．有如下命题：①函数与的图象恰有三个交点；②函数与的图象恰有一个交点；③函数与的图象恰有两个交点；④函数与的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 12．若函数的图象关于点对称，，分别是的 极大值点与极小值点，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．在中，若，，，则_____． 14．如图，圆（圆心为）的一条弦的长为，则_____． 15．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）． 16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形中，，，，设． （1）若，求的长度； （2）若，求． 18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示． （1）求这名考生的平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）； （2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？ （3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求．（精确到） 附：①，； ②，则，； ③． 19．（12分）如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点． （1）在上确定点，使平面，并说明理由； （2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（12分）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值． （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点， 若，求原点到直线的距离的取值范围． 21．（12分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若存在，，使得，求证：． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线的极坐标方程； （2）若直线与曲线交于，两点，求的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，，使得，求实数的取值范围． 8第 页 2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 理科数学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】C 12．【答案】C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意可知，， 在中，，，， 由余弦定理可知，，． （2）由题意可知，，， 在中，由正弦定理可知，， ∴，∴． 18．【答案】（1）分；（2）约635人；（3）． 【解析】（1）由题意知： ∴， ∴名考生的竞赛平均成绩为分． （2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布， 而， ∴． ∴竞赛成绩超过分（含分）的人数估计为人人． （3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率． 而，∴． 19．【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）取中点，连结，， 在中，取为中点，连接，则， 延长与交于点，则即为所求点， 为平行四边形，点，为中点，则， 由线面平行的判定定理可得平面， 同理可得，平面， 又，， 据此可得平面平面，故平面． （2）作平面，与延长线交于， 则，，，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 作，则直线与平面所成角即直线与平面所成角， ∵，∴． 设到平面的距离为，则，∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵点在上运动，点在上运动， ∴设，， 线段的中点，则有，， ∴，， ∵线段的长为定值，∴， 即，化简得， ∴线段的中点的轨迹方程为． （2）设，，联立， 得，， 化简得①，则，， ， 若，则，即， 所以， 即，化简得②， 由①②得，， 因为到直线的距离，所以， 又因为，所以， 所以到直线的距离的取值范围是． 21．【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）， 令，则，解得，∴， 令，， ∴时，函数取得极小值即最小值，∴， ∴函数在上单调递增． （2）由（1）可得：函数在上单调递增． 要证明：， 又，因此， 即，，则， 令 ， ，，， 令，， ∴在上单调递增． ∴，∴函数在上单调递增． ∴，因此结论成立． 22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）曲线的普通方程为， 则的极坐标方程为． （2）设，， 将代入，得， 所以，所以． 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，或或， 解得，所以原不等式的解集为． （2）对任意恒成立，对实数有解． ∵， 根据分段函数的单调性可知：时，取得最大值， ∵， ∴，即的最大值为， 所以问题转化为，解得．