2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学（理）试题（解析版）.doc

2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考 数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先化简集合，求出，即可求出结果. 【详解】 由题意得，，则， ∴. 故选:C. 【点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．已知向量与方向相反，，，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由与关系，求出，即可求出结果. 【详解】 ∵，∴，又向量与方向相反， 且，∴，∴. 故选:B. 【点睛】 本题考查向量间的关系，以及向量的坐标表示，属于基础题. 3．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取特殊值排除选项，然后再用不等式性质证明其它选项. 【详解】 取，，，排除A； 取，排除B，C，故选D. 或推导选项D正确如下： . 故选:D 【点睛】 本题考查不等式的性质，解题注意特殊方法的应用，属于基础题. 4．下列命题中正确的是（ ） A．， B．， C．若是真命题，则是假命题 D．是假命题 【答案】C 【解析】取特殊值判断A,B选项不正确；根据或且非的命题关系，判断选项C正确；选项D不正确. 【详解】 ，，故A错误； 当时，，故B错误； ∵是真命题，∴是假命题，是真命题， ∴是假命题，故C正确； 选项D显然错误 . 故选:C. 【点睛】 本题考查判断命题的真假，属于基础题. 5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【解析】根据题意得出的通项，即可求解. 【详解】 由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数， ∴，，由，得， ∵，∴此数列的项数为169. 故选:C. 【点睛】 本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式，以及考查计算能力，属于基础题. 6．已知函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据奇函数的定义，求出的值，即可求出结论. 【详解】 ∵函数为奇函数，， ，解得， ∴，则. 故选:B. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的应用，考查特殊角的三角函数，属于基础题. 7．曲线，以及直线所围成封闭图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用定积分的几何意义，即可得到结论. 【详解】 由题意得. 故选A. 【点睛】 本题考查区域面积的计算，根据定积分的几何意义，是解题的关键，属于基础题. 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解. 【详解】 由题意得，，. 又，解得， ∴， . 故选:B. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题. 9．已知函数，，当时，与的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数、的性质，利用排除法即可得出选项. 【详解】 由题意得，函数，均为偶函数，故排除A选项； 当时，，， 当时，， ∴与的图象在上有一个交点， 故选：D 【点睛】 本题主要考查分段函数、对数函数以及函数的奇偶性、单调性，综合性比较强. 10．已知数列的通项公式为，则数列的前2020项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简通项公式，即可求解. 【详解】 ∵，∴当为偶数时， ， ∴数列的前2020项和为. 故选:C. 【点睛】 本题考查裂项相消法求数列的前项和，属于中档题. 11．已知函数，现有如下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数的最大值为； ③是函数图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】作出函数的图像，结合三角函数的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】 由题意得，函数的最小正周期为，故①正确； 当时， ； 当， ； 当时， . 作出函数的图象如图所示，可知②③正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查三角函数的性质，图像是解题的重要辅助手段，属于中档题. 12．已知函数，若存在，，使得，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求导，确定，的关系，把表示成关于的函数，再利用求导的方法，求出最小值. 【详解】 ，由题意得， 方程的两正根分别为，， ，解得， 且，，∴，， 则，； 令，， 则； 当时，恒成立， ∴在上单调递减， ∴，即的最小值为. 故选A. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调性、极值最值，构造函数是解题的关键，考查等价转化数学思想，是一道综合题. 二、填空题 13．已知实数，满足，则目标函数的最大值是______. 【答案】 【解析】作出可行域，数形结合即可求解目标函数的最值. 【详解】 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示， 其中，，. 作直线：，平移直线， 当其经过点时，取得最大值，即. 故答案为:15 【点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 14．平行四边形中，点是线段的中点，若，则______. 【答案】 【解析】由向量加法的平行四边形法则、向量的减法、平面向量的基本定理， 可得，利用对应系数相等即可求解. 【详解】 ∵， ∴. 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了平面向量的基本定理、向量加法的平行四边形法则、向量的减法，属于基础题. 15．设为数列的前项和，已知，对任意，都有，则（且）的最小值为______. 【答案】 【解析】取，得出是等比数列，求出，转化为关于的函数，利用求最值的方法即可求解. 【详解】 当时，， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴，∴，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为:32 【点睛】 本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式，考查基本不等式的应用，属于中档题. 16．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______. 【答案】或 【解析】设两曲线的切点坐标，各自求出切线方程，利用两切线重合关系，即可求解. 【详解】 令，，则，. 设切点分别，， 则切线方程为，即； ，即， ∴，即， ∴，∴或. 当时，切线方程为，∴； 当时，切线方程为，∴. 综上所述，或. 故答案为: 或 【点睛】 本题考查函数图像的切线求法，考查导数的几何意义，考查计算能力，属于较难题. 三、解答题 17．已知：，：函数在区间上没有零点. （Ⅰ）若，且命题为真命题，求实数的取值范围； （Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）实数的取值范围是；（Ⅱ）实数的取值范围是. 【解析】（Ⅰ）首先求出命题、为真命题时的取值范围，然后再根据“且”命题的真假判断方法确定、的真假性即可求解. （Ⅱ）由是成立的充分不必要条件，得出两命题中的集合之间的包含关系，从而求出参数的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）当时，：， 由函数在区间没有零点， 得或， 解得或， ∵为真命题， ∴为真命题，为假命题， 当为假命题时，， ∴实数的取值范围是. （Ⅱ）∵是成立的充分不必要条件，又恒成立， ∴或，解得， ∴实数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查命题的真假求参数的取值范围，解题的关键是根据命题的关系推出集合之间的关系，属于基础题. 18．把正弦函数函数图象沿轴向左平移个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，所得曲线是.点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且. （1）求解析式； （2）求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出； （2）根据函数性质，求出三点横坐标之间关系，代入函数即可求解. 【详解】 （1）由题意可得， ， ∵，且， ∴.. （2）设，， 则， 即 则 解得，则， ∵ ∴. 【点睛】 此题考查三角函数图像性质，平移变换和伸缩变换，尤其结合图像特征求解参数对数形结合能力要求较高. 19．已知函数. （Ⅰ）当时，证明：有且只有一个零点； （Ⅱ）求函数的极值. 【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为. 【解析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证； （2）求导，对分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）当时，，定义域为， ∴， ∴在上单调递增，∴至多有一个零点. 又，， 则，∴在上有且只有一个零点. （Ⅱ）由题意得，， ， 当时，当时，， 当时，，当时，， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减， ∴极大值为， 极小值为； 当时，， ∴函数在上单调递增，无极值； 当时，当时，，当时，， 当时，， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减， ∴极大值为，极小值为. 【点睛】 本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题. 20．已知为数列的前项和，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】（1）由前项和与通项关系，即可求出通项公式； （2）根据数列的通项公式特征，可用错位相减法或裂项相消法求前项和. 【详解】 （Ⅰ）令，得， ∴，解得， ∴，即； 当时，， 当时，适合上式，∴. （Ⅱ）方法一：由题意得，， ∴， ∴， 两式相减得， ， 整理得，. 方法二：由题意得，， ∴ . 【点睛】 本题考查已知数列的前和求通项公式，以及用错位相减法或裂项相消法求数列的前项和，考查计算能力，属于中档题. 21．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求中线的最大值. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解； （2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值. 【详解】 （Ⅰ）由已知及正弦定理得. 又， 且，∴，即. （Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得， ∵，当且仅当时取等号，∴. ∵是边上的中线，∴在和中， 由余弦定理得，，① .② 由①②，得， 当且仅当时，取最大值. 方法二：在中，由余弦定理得， ∵，当且仅当时取等号，∴. ∵是边上的中线，∴，两边平方得 ，∴， 当且仅当时，取最大值. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题. 22．已知函数，. （Ⅰ）若，判断函数的单调性； （Ⅱ）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）在上单调递增；（Ⅱ）. 【解析】（1）求导，判断导函数的正负，即可求解； （2）构造函数，不等式恒成立，转化为求函数的最小值不小于零，对分类讨论，求导，求出函数的单调区间，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）由题意得，， 则， 当时，， ，∴， ∴函数在上单调递增. （Ⅱ）由题意得，在上恒成立； ∵，∴，. ①当时，在上恒成立； ②当时，设， 则， 当时，，则， 又，∴， ∴在上单调递增，∴，符合题意； 当时，令， 则，在区间上恒成立， ∴在区间上单调递增，∴， ， ∴存在，使得. 当时，，单调递减， ∴，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查函数的导数研究函数的单调性，以及函数的导数在求函数最值的应用，解题的关键是将恒成立问题转化为函数的最值问题解决，体现了转化的思想和分类讨论的思想，属于难题. 第 18 页 共 18 页